2022年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•揭阳二模）函数的定义域为（ ） A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式可得1﹣2x≥0，解得x≤0，由此可得函数的定义域．解答：解：由于函数，故有1﹣2x≥0，解得x≤0，故函数的定义域为（﹣∞，0]，故选B．点评：本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，属于基础题． 2．（5分）（2022•揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（ ） A．B．C．D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题． 3．（5分）（2022•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（ ） A．（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），13故有，解得，故选D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题． 4．（5分）（2022•揭阳二模）设函数f（x）=，则函数的最小正周期为（ ） A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法；诱导公式的作用．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式进行化简，再利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式，利用T=即可得到正周期．解答：解：函数f（x）=cosx+sinx==，故其最小正周期为=2π，故选C．点评：熟练掌握利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式、诱导公式、周期公式是解题的关键． 5．（5分）（2022•揭阳二模）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（ ） A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．解答：解：设要求的双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a=1，c=2，∴b2=c2﹣a2=3．13∴双曲线为．故选B．点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 6．（5分）（2022•揭阳二模）在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为（ ） A．37B．36C．20D．19考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得am=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{an}为等差数列，首项a1=0，am=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能力，属于中档题． 7．（5分）（2022•揭阳二模）设定义在[﹣1，7]上的函数y=f（x）的图象如图示，则关于函数的单调区间表述正确的是（ ） A．在[﹣1，1]上单调递减 B．在（0，1]上单调递减，在[1，3）上单调递增 C．在[5，7]上单调递减 D．在[3，5]上单调递增考点：函数单调性的判断与证明．分析：当x=0，x=3，x=6时，函数无意义，故排除A、C、D，进而可得答案．解答：解：由图象可知当x=0，x=3，x=6时，f（x）=0，此时函数无意义，而选项A、C、D均违背定义域，故排除A、C、D，故选B．点评：本题考查函数单调性的判断，涉及函数的定义的应用，属基础题． 8．（5分）（2022•揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）13 A．7B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图复原的几何体，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．点评：本题考查几何体与三视图的关系，考查空间想象能力与计算能力． 9．（5分）（2022•揭阳二模）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（ ） A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．解答：解：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，由，故选B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题． 10．（5分）（2022•揭阳二模）已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为（ ） A．1B．2C．3D．413考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：先令x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，点Q的可行域为平行四边形及其内部区域，数形结合求得点Q（u，v）构成的区域的面积．解答：解：设点Q（u，v），则x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，在uov平面内画出点Q（u，v）所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为2×1=2．故选B．点评：本题考查求二元一次不等式组表示的区域面积，判断不等式组表示的区域构成的图形，是解题的关键． 二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（9-13题）11．（5分）（2022•揭阳二模）若点（a，﹣1）在函数的图象上，则的值为 ．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：将x=a，y=﹣1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：将x=a，y=﹣1代入函数解析式得：﹣1=，解得：a=3，则tan=tan=tan（π+）=tan=．故答案为：点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 12．（5分）（2022•揭阳二模）已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为 ．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．13分析：由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．解答：解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：点评：本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件． 13．（5分）（2022•揭阳二模）对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|fA（x）•fB（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为 {1，6，10，12} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：新定义．分析：在理解题意的基础上，得到满足fA（x）•fB（x）=﹣1的x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}，分别求出两个集合后取并集．解答：解：要使fA（x）•fB（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．点评：本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2022•揭阳二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或 ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求已知圆的圆心的极坐标，再根据直线l过圆C：的圆心C且与直线OC垂直，即可求得直线l的极坐标方程．解答：解：把化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为x+y﹣2=0，13化为极坐标系的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．点评：本题重点考查曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题． 15．（2022•揭阳二模）如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD与CE相交于点F，则BF的长为 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得出．解答：解：∵C，D是半圆周上的两个三等分点，∴∠DBA=30°，连接AD，则∠ADB=90°，∴AD=2，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG==1．则AG=BE=1，∴=．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2022•北京）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．考点：三角函数的定义域；弦切互化．分析：（1）由cosx≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=﹣，求出sina=﹣，cosa=，代入函数式．解答：（1）解：∵依题意，有cosx≠013∴解得x≠kp+，∴f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kp+，k∈Z}（2）解：∵=﹣2sinx+2cosx∴f（α）=﹣2sina+2cosa∵α是第四象限的角，且∴sina=﹣，cosa=∴f（α）=﹣2sina+2cosa=点评：本题主要考查三角函数的定义域的问题．属基础题． 17．（12分）（2022•揭阳二模）某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图．（1）求获得参赛资格的人数；（2）根据频率分布直方图，估算这100名学生测试的平均成绩；（3）现在成绩[110，130）、[130，150]（单位：分）的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到高编号为A1，A2，A3，A4，A5，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130，150]的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数．（2）由频率分布直方图求数据的平均数，是各个矩形宽的中点横坐标乘以各个矩形的纵坐标的和，在乘以组距即可．（3）本题是一个等可能事件的概率，最后两组共有15名学生，用分层抽样在15名学生中抽5名学生，最后两组分别抽取2人，3人，列举出事件发生所包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．解：（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：13解答：100×（0.0050+0.0045+0.0030）×20=25人．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）设100名学生的平均成绩为，则=[×0.0065+×0.0140+×0.0170+×0.0050+×0.0045+×0.0030]×20=78．（4分）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）成绩在[110，130）的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在[130，150）的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在[130，150）中抽取×5=2人，从成绩在[110，130）中抽取×5=3人，故A4，A5∈[130，150），﹣﹣﹣﹣（8分）从A1，A2，A3，A4，A5中任取两人，共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A5）十种不同的情况，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其中含有A4，A5的共有7种，所以至少有1人的成绩在[130，150）的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查频率分布表，考查等可能事件的概率，是一个概率与统计的综合题目，题目虽然比较麻烦，但是一个能够得分的题目． 18．（14分）（2022•揭阳二模）数列{an}中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{an}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由递推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（2）利用累加法可求得an，注意检验n=1时是否满足an；解答：解：（1）a1=3，a2=3+c，a3=3+3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（3+c）2=3（3+3c），解得c=0或c=3．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=3．（2）当n≥2时，由a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，…，an﹣an﹣1=（n﹣1）c，．又a1=3，c=3，∴．当n=1时，上式也成立，∴．点评：本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题． 1319．（14分）（2022•揭阳二模）如图，已知三棱柱BCF﹣ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求证：MN∥平面BCF；（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）四边形CFED与ABFE都是正方形，利用线面垂直可得EF⊥平面ADE，再根据EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出结论；（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，先证得四边形MNN1M1为平行四边形，得MN∥N1M1，再根据线面平行的判定得到MN∥面BCF．法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性质得出MN∥面BCF；（3）将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小．通过解△AEN，利用余弦定理求出AN即可．解答：解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1又∵，∴MM1=NN1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴四边形MNN1M1为平行四边形，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．﹣（10分）[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则，∴NG∥CF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）]（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）13在△AEN中，∵由余弦定理得AN2=AE2+EN2﹣2AE•ENcos135°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本小题考查空间中的线面关系及面面关系，点、线、面间的距离计算、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力． 20．（14分）（2022•揭阳二模）如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．（1）求圆M和抛物线C的方程；（2）试探究抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x﹣1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线的定义可知：|OD|=；直角三角形的边角关系可得，由垂径定理可得|OE|=，可得圆心与半径，根据圆的标准方程即可得出；（2）利用“点差法”及由PQ⊥m⇔kPQ•k=﹣1，可得PQ中点D（x0，y0）的纵坐标y0=﹣2k，又D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上，可得x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外．即可判断出．解答：解：（1）如图所示，设准线l与x轴相较于点D，则|OD|=．在Rt△OAD中，，即p=2，13∴所求抛物线的方程为y2=4x．∴设圆的半径为r，作ME⊥t，垂足为E，由垂径定理可得|OE|=，在Rt△OME中，，∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）．∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，∴两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）．好∵PQ⊥m，∴kPQ•k=﹣1，好∴，∴y0=﹣2k．∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外．∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、垂径定理、抛物线的定义、圆的标准方程、轴对称的性质和相互垂直的直线的斜率之间的关系设解题的关键． 21．（14分）（2022•揭阳二模）已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，+∞）上有唯一解；（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明：．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f′（x），利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）利用（1）的结论可知：f（x）﹣在区间（2，+∞）上单调递增，再验证函数零点存在定理的条件即可证明；（3）由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在[α，β]13上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．利用其单调性解出即可．解答：解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），．∵a＞0，令f'（x）＞0得：，令f'（x）＜0得：．∴函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：当时，，由（1）知f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），令，则g（x）在区间（2，+∞）单调递增且g（2）=f（2）﹣==＜0，＞0．∴方程在区间（2，+∞）上有唯一解．（3）证明：由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．故，即从而．点评：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值、最值得方法，函数零点判定定理等基础知识与基本技能，灵活构造函数和善于利用已经证明的结论是解题的关键．13
