2022-2022学年广东省广州市海珠区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在象限为（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求出复数z，即可得出结论．解答：解：复数z====﹣i，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 2．（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ） A．存在一个能被2整除的数不是偶数B．存在一个不能被2整除的数是偶数 C．所有不能被2整除的数都是偶数D．所有能被2整除的数都不是偶数考点：命题的否定．专题：探究型．分析：利用全称命题的否定是特称命题，可以得到原命题的否定．解答：解：因为命题“所有能被2整除的数都是偶数”是全称命题，所以根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选A．点评：本题主要考查了含有量词的命题的否定，要求掌握含有量词的命题的否定的两种形式，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）=0.2，则P（ξ＞4）=（ ） A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），得出正态分布曲线关于ξ=2对称，由此得出P（ξ＜0）=P（ξ＞4），求出P（ξ＞4）的值，对照四个选项得出正解答案解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴正态分布曲线关于ξ=2对称，又ξ＜0与ξ＞4关于ξ=2对称，且P（ξ＜0）=0.2，∴P（ξ＞4）=P（ξ＜0）=0.2，13\n故选D．点评：本题考查正态分布曲线的特点，解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征，由特征得出P（ξ＜0）=P（ξ＞4）． 4．（5分）由曲线y=x2，y=0，x=1所围成图形的面积为（ ） A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x2在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：∵曲线y=x2和直线L：x=2的交点为A（1，1），∴曲线C：y=x2、直线L：x=1与x轴所围成的图形面积为：S=x2dx=x3=．故选B．点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题． 5．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ） A．4B．4C．2D．2考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．解答：解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 6．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（ ） A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣1，0）∪（2，+∞）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．13\n分析：利用导数的运算法则得出f′（x），解答：解：∵f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，∴（x＞0）．解出f′（x）＞0即可．则f′（x）＞0，即2x（x＞0），可化为x2﹣x﹣2＞0，即（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2．故选B．点评：熟练掌握导数的运算法则和一元二次不等式的解法是解题的关键． 7．（5分）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ） A．60种B．42种C．36种D．16种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：分两种情况：在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目；有三个城市各获得一个投资的项目，从而可得结论．解答：解：分两种情况①在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有3种；在4个城市当中，选择两个城市作为投资对象，有4×3=12种，这种情况有：3×12=36种②有三个城市各获得一个投资的项目，选择没有获得投资项目的城市，4种；安排项目与城市对应，有3×2×1=6种这种情况有，4×6=24种综合两种情况，有36+24=60种方案设置投资项目故选A．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 8．（5分）（2022•上海）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） A．若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立 B．若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立 C．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立 D．若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立考点：函数单调性的性质．专题：压轴题．分析：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”是一种递推关系，前一个数成立，后一个数一定成立，反之不一定成立．解答：解：对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f（1）＜1成立，则不一定f（10）＜100成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f（2）＜4成立，则f（1）＜1成立，不能得出：若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立；对C，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对D，∵f（4）≥25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选D点评：本题主要考查对函数性质的理解，正确理解题意是解决本题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）已知，，则||= 13 ．13\n考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量坐标形式的运算法则求得﹣的坐标，再根据复数的模的定义求得||．解答：解：已知，，则﹣=（﹣3，4，﹣12），||==13，故答案为13．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求复数的模，属于基础题． 10．（5分）在的二项展开式中，第4项的系数为 ﹣40 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由通项公式求得第4项，即可求得第四项的系数．解答：解：在的二项展开式中，由通项公式求得第4项为T4=•（4x2）•=，故第4项的系数为﹣40，故答案为﹣40．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 11．（5分）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了10枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用在10箱子中各任意检查一枚的方法来检测，国王能发现至少一枚劣币的概率为．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：在每一个箱子中抽到劣币的概率为=，求出国王没有抽到劣币的概率为•，用1减去此概率，即得国王能发现至少一枚劣币的概率．解答：解：在每一个箱子中抽到劣币的概率为=，抽到真币的概率为，故国王没有抽到劣币的概率为•=，故国王能发现至少一枚劣币的概率为1﹣．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，属于中档题． 12．（5分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣，则使该生产厂家获得最大年利润为 252 万元．13\n考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题．分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出最大值点即最大年利润的年产量，再代入原函数即可求出结论．解答：解：∵y=﹣，∴y′=﹣x2+81；令导数y′=﹣x2+81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′=﹣x2+81＜0，解得x＞9，所以函数y=﹣x3+81x﹣234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+∞）上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值，此时y=﹣×93+81×9﹣234=252．故答案为：252．点评：本题考查导数在实际问题中的应用，一般来说，单峰函数的极值就是最值，属基础题． 13．（5分）（2022•山东）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））= ．考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，13\nf4（x）=f（f3（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n∴fn（x）=f（fn﹣1（x））=故答案为：点评：本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙． 14．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线焦点的距离为 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线焦点的距离．解答：解：依题意可知F坐标为（，0）∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=﹣，所以点B到抛物线准线的距离为+=，则B到该抛物线焦点的距离为．故答案为：．点评：本题主要考查抛物线的定义及几何性质，属容易题． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）求函数f（x）=﹣9x+1（x∈R）的极值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：函数f（x）在区间（a，b）内某一点x0取得极值的充要条件是函数在这一点附近的导数异号且f′（x0）=0．13\n解答：解：因为函数f（x）=﹣9x+1（x∈R），所以f'（x）=x3﹣9=（x﹣3）（x+3）令f′（x）=0，解得x=﹣3，或x=3．由f′（x）＞0，得x＜﹣3，或x＞3；由f′（x）＜0，得﹣3＜x＜3．（4分）当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增19单调递减﹣17单调递增（8分）因此当x=﹣3时，f（x）有极大值，极大值为f（﹣3）=19；（10分）当x=3时，f（x）有极小值，极小值为f（3）=﹣17．（12分）点评：考查了函数在某点取得极值的条件，连续函数在函数定义域内某点处左右两侧的单调性不同，则该点是函数的极值点．此题是中档题．掌握函数取得极值的充要条件是解题的关键． 16．（12分）已知动点M在直线l：y=2的下方，点M到直l的距离与定点N（0，﹣1）的距离之和为4，求动点M的轨迹方程．考点：轨迹方程；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出M的坐标，利用动点M在直线l：y=2的下方，点M到直l的距离与定点N（0，﹣1）的距离之和为4，建立方程，即可求动点M的轨迹方程．解答：解：设动点M的坐标为M（x，y）．（1分）因为点M在直线l：y=2的下方，所以y＜2，依题意有（4分）因为y＜2，所以（6分）平方化简得（8分）因为y＜2，所以，解得（10分）所以所求的轨迹方程为．（12分）点评：本题轨迹方程，考查学生的计算能力，解题的关键是正确建立方程． 17．（14分）设f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），f（x）图象的一条对称轴是．（1）求φ的值；（2）证明：对任意实数c，直线5x﹣2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意，sin（+φ）=±1，可求得φ=kπ+（k∈13\nZ），而﹣π＜φ＜0，从而可求得φ的值；（2）由f（x）=sin（2x﹣π）可求得f′（x）=2cos（2x﹣π）≤2，即曲线的切线的斜率不大于2，与直线5x﹣2y+c=0的斜率比较即可使结论得证．解答：解：（1）由对称轴是x=，得sin（+φ）=±1，（2分）即+φ=kπ+（k∈Z），（3分）所以φ=kπ+（k∈Z），（4分）而﹣π＜φ＜0，所以φ=﹣π．（6分）（2）因为f（x）=sin（2x﹣π）．所以f′（x）=2cos（2x﹣π）≤2，（8分）即曲线的切线的斜率不大于2，而直线5x﹣2y+c=0的斜率k=＞2，（10分）所以直线5x﹣2y+c=0不是函数y=f（x）的切线．（12分）点评：本题考查正弦函数的对称性及最值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查推理证明的能力，属于中档题． 18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由AB∥CD且AD=DC，得∠DAC=∠DCA=∠CAB，得根据等腰梯形的性质结合题中的数据算出∠CAB=13\n∠DAB=30°，得△ABC中∠ACB=90°，从而AC⊥BC．最后根据平面ACEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理即可证出BC⊥平面ACFE；（2）以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图．结合题中数据得到A、B的坐标，设M（a，0，1）从而得出、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出=（1，，）是平面AMB的一个法向量，结合是平面FCB的一个法向量．利用空间向量的夹角公式算出向量、的余弦之值，由平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，建立关于a的方程并得到此方程无实数解．由此可得不存在在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．解答：解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB=∠ABC=60°，∴∠CAB=∠DAB=30°，得△ABC中，∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠ABC）=90°，即AC⊥BC，（3分）又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（5分）（2）由（1）知AC、BC、CF两两互相垂直，以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图，∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AC=BCtan60°=，可得A、B的坐标分别为A（，0，0），B（0，1，0），设M（a，0，1），则，，（7分）设=（x，y，z）是平面AMB的一个法向量，则（9分）取x=1，得=（1，，），（10分）∵是平面FCB的一个法向量，∴若平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，得cos＜，＞==（12分）化简，得2+（）2=0，显然此方程无实数解，（13分）因此，线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．（14分）13\n点评：本题给出特殊多面体，求证线面垂直并探索二面角的大小问题．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识点，属于中档题． 19．（14分）（2022•房山区一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．考点：概率的应用；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，共有C种情况，恰有一天空气质量达到一级，共有种情况，由此可求概率；（Ⅱ）ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，故可得其分布列和数学期望；（Ⅲ）一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=13\n，一年中空气质量达到一级或二级的天数η～B（360，），求出期望，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A则…（3分）（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3，…（4分），，，，…（8分）所以ξ的分布列为ξ0123P…（9分）…（10分）（Ⅲ）15天的空气质量达到一级或二级的频率为…（11分），所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级．…（13分）（说明：答243天，244天不扣分）点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题． 20．（14分）如图，已知椭圆E1方程为，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C．（Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；（Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；13\n（Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），利用中点坐标公式即可得出点B的坐标，再代入椭圆的方程即可得到a，b的关系，再利用斜率计算公式即可得出；（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，即已知|BA|+|BF2|=2a，即可得出|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，可得点B的横坐标，再利用斜率计算公式得到b，a的关系，把点B的横坐标代入椭圆的方程即可得到纵坐标，再利用斜率计算公式即可得出k1．（III）直线BD过定点（a，0）．设P（a，0），B（xB，yB），则点B的坐标满足椭圆方程．利用斜率计算公式可得kAD•kPB==，只要证明kAD•kPB=﹣1，而PD⊥AD，即可得到三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．解答：解：（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B，由点B在椭圆上，得，化为，∴．（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，又|BA|+|BF2|=2a，∴|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，∴，又，∴，，∴，代入椭圆方程得=，∴=．13\n（III）直线BD过定点（a，0），证明如下：设P（a，0），B（xB，yB），则（a＞b＞0）．则kAD•kPB====．∴PB⊥AD，又PD⊥AD，∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、中点坐标公式、线段的垂直平分线、圆的性质、相互垂直的直线的斜率关系、三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力、计算能力． 13
