2022—2022学年（下）高二级第二学段模块考试理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。…………参考公式：一般地，若离散型随机变量的分布列为则.第一部分选择题（共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（*）A．B．C．D．2．随机变量服从正态分布，若，则（*）A．B．C．D．3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有（*）A．1440种B．960种C．720种D．480种4．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（*）A．B．与相交C．D．与所成的角为5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（*）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定6．甲、乙两队进行排球决赛，9\n现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（*）A．B．C．D．7．已知双曲线，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（*）A．B．C．D．或8．设函数，(是互不相等的常数)，则等于（*）A．B．C．D．第二部分非选择题（110分）二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题（9～13题）9．曲线在点的切线方程是*.ξ－101Pab10．随机变量ξ的分布列如右图，其中a，b，成等差数列，则*.11．的展开式中常数项的值是*.（用数字作答）12．表示不超过的最大整数.那么*.13．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为*.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题.请先用2B铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑，然后把答案填在横线上.）14．(坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中，已知点9\n和,则、两点间的距离是*.15．(几何证明选讲选做题)如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝*.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）先后掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）当第一颗骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．17．（本小题满分14分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为．每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响．（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分数的概率分布和数学期望．18．（本小题满分14分）如图，在圆锥中，已知，⊙O的直径，是的中点，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.9\n19．（本小题满分12分）数列满足．（1）计算，，，，由此猜想通项公式，并用数学归纳法证明此猜想；（2）若数列满足，求证：．20．（本小题满分14分）已知椭圆与直线相交于两点．（1）若椭圆的半焦距，直线与围成的矩形的面积为8，求椭圆的方程；（2）若（为坐标原点），求证：；（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数.（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）当时，恒成立，求整数的最大值；（3）试证明：().2022—2022学年（下）高二级第二学段模块考试·理科数学答案及说明一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案DCADBDDA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9\n9．10．11．12．13．14．15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分12分）解：（1）设为掷第一颗骰子得的点数，为掷第二颗骰子得的点数，则所有可能的事件与点建立对应如图，共有种不同情况，它们是等可能的．…………2分设事件A为“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况，…………3分∴P(A)＝.…………5分（2）设事件B为“第一颗骰子的点数为3或6”，事件C为“两颗骰子的点数之和大于8”，由图可知则，…………9分…………12分17．（本小题满分14分）解：（1）设“甲至多命中1个球””为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，……1分由题意得，…………5分∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为…………6分（2）乙所得分数的可能取值为，…………7分则，，，，…………11分分布列如下：04812P…………13分…………14分18．（本小题满分14分）解法1：（1）连结，因为，是中点，所以又底面⊙O，底面⊙O，所以，…………2分9\n因为是平面内的两条相交直线，所以平面…………4分而平面，所以平面平面.…………6分（2）在平面中，过作于，由（1）知，平面平面平面=所以平面，又面，所以在平面中，过作于，连接，平面，从而，故为二面角的平面角…………9分在在在在所以…………13分故二面角的余弦值为…………14分解法2：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，则，…………2分（1）设是平面的一个法向量，则由，得所以，取得………4分设是平面的一个法向量，则由，得所以，取，得…………6分因为，所以从而平面平面…………8分9\n（2）因为轴平面，所以平面的一个法向量为由（1）知，平面的一个法向量为设向量和的夹角为，则…………13分所以二面角的余弦值为…………14分19．（本小题满分12分）解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.…………1分当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.…………2分由此猜想an＝(n∈N*)．…………4分现用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a1＝＝1，结论成立．②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，故当n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．…………8分(2)由(1)知，，．…………9分解法1：当时，………10分．………12分解法2：当时，，………10分9\n．………12分解法3：当时，…………10分．………12分20．（本小题满分14分）解：（1）由已知得：解得…………3分所以椭圆方程为：…………4分（2）设，由，得由，得…………7分由，得…………8分∴即，故…………9分（3）由（2）得由，得，∴…………12分由得，∴9\n所以椭圆长轴长的取值范围为…………14分21．（本小题满分14分）解：（1）由题…………2分故在区间上是减函数…………3分（2）当时,恒成立,即在上恒成立,…4分取,则,…………5分再取则…………6分故在上单调递增而故在上存在唯一实数根，…………8分故当时，，，当时，故故……10分（3）由（2）知令,…………12分又即…………14分9
