2022-2022学年度12月月考五校联考高三年级数学（理）科试题本试卷共4页，24小题（其中22，23，24是选作题），满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．参考公式：①锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．②方差，其中为样本的平均数．一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，．若，则实数的值是(）．A．B．C．或D．或或2.在复平面内，复数对应的点位于(）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是(）．A．5个B．4个C．3个D．2个4．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为(）．A．B．C．D．-10-5.已知函数，在区间上随机取一个实数，若事件“”发生的概率为，则的值为(）．A．B．C．D．6.已知实数满足约束条件，则的取值范围是(）．A．B．C．D．7．函数的部分图象如图所示,则的值分别是(）．开始S=1，k=1k>a?S=S+k=k+1输出S 结束是否A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是，则(）．A．B．C．D．9．已知数列的首项，数列为等比数列，且，若，则(）．A．B．C．D．10.设点为球的球面上三点，为球心．球的表面积为，且是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为(）．A．12 B．12 C.24 D.3611.已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为(）． A．1 B．2 C.3 D.412.定义在上的函数满足：，，是的导函数，-10-则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为(）．A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若的展开式中项的系数为，则．14．函数（）的最大值为．15．已知函数，若，则实数的取值范围是．16．在中，，，则．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值和的表达式.18.（本小题满分12分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值．即日均值在微克／立方米以下空气质量为一级；在微克／立方米——微克／立方米之间空气质量为二级；在微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求的分布列和数学期望．-10-19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，点是的中点，∥平面.（1）求证：点是的中点；（2）若时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相切，过作，垂足为，求证：为定值（其中为坐标原点）.21．（本小题满分12分）已知函数，其中为实数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为⊙的直径，为圆弧的中点，为弦的中点.（1）求证：；（2）求证：.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程-10-在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．（l）求曲线与的交点的直角坐标；（2）设点分别为曲线，上的动点，求的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知，．（1）当时，解不等式；（2）若恒成立，求的取值范围.-10-2022-2022学年度12月月考五校联考高三年级数学（理）科试题答案一.CDBADDAACBAA二.13．；14．；15．；16．17．解：（1），.…5分；（2），即：所以：当时，，当时，………6分，，所以：………8分时，；时，.即.………12分18.解：（1）………4分根据样本估计今年9月份该市区每天的平均值为：微克／立方米，方差为137。………5分（2）从茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则可能取的值为，其中，，，…10分所以的分布列为，的数学期望为。………12分19．证明：（1）取的中点，连结，，设………1分-10-由作图过程易得：四边形为平行四边形，在中，点是的中点，点是的中点，………3分又∥平面.平面，且平面平面，又四边形为平行四边形，点是的中点。………6分（2）由（1）知，又平面平面又是边长为的等边三角形，点是的中点，且如图建立空间直角坐标系，设，………7分则，，，，，，由可知：………8分由轴平面可得：平面的一个法向量………9分设平面的一个法向量为，由得：令，则，………10分，………11分所以，平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为………12分20．解：（1）由题意可设椭圆的左焦点为，则半焦距………1分由椭圆定义可知：-10-所以，，所以椭圆的方程为………4分（2）①当直线的斜率不存在时，的方程为：，或，此时；②当直线的斜率为时，的方程为：，或，此时；…5分③当直线的斜率存在且不为时，设为，其方程可设为（），直线的方程可设为：由消去可得：………6分直线与椭圆相切，整理得：（*）………7分由，解得………9分所以将（*）式代入：综上所述：，为定值.………12分21．解：⑴时，，，………-10-1分，又，所以切线方程为.………4分⑵①当时，，则令，，………6分再令，当时，∴在上递减，∴当时，，∴，所以在上递增，，所以………8分②时，，则由①知当时，在上递增，当时，，，所以在上递增，∴，∴；………11分综合①②得：.………12分22．证明：（1）（略）5分；（2）因为为圆弧的中点，所以，又，则，又因为所以∽，所以，，，………10分23．（l）曲线，消去参数，得：，①曲线②，联立①②，消去可得：或（舍去），所以………-10-5分（2）曲线，是以为圆心，半径的圆设圆心，点到直线的距离分别为，则：，所以的最小值为．………10分24．解：（1）当时，，当时，不等式不成立；当时，由，得；当x＞2时，不等式必成立．综上，不等式的解集为．………5分（2）因为，当且仅当时取等号．所以的最大值为12．故k的取值范围是．………10分-10-
