岭南师范学院附属中学2022—2022学年第一学期期中考试高二年级理科数学考试范围：必修5考试时间：120分钟满分：150分题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则一定有（）A．B．C．D．2.已知等比数列满足，则（）A．B．C．D．3.在△ABC中，若，则角C=（）A．30ºB．45ºC．60ºD．120º4.设等差数列的前项和为，已知，则（）．A．B．C．D．5.在中,,,则的面积为()A．B．C．D．6.设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．7.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A.B.C.D.8.已知实数满足约束条件，则的最大值为（）．9\nA．B．C．D．9.一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．36B.108C.75D.8310.利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有个（）（1）（2）（3）（4）A．0个B．1个C．2个D．3个11.已知函数若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．一艘轮船从海面上从A点出发，以40nmile/h的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A点正西方有一点B，AB=10nmile，该船1小时后到达C点并立刻转为南偏东60°的方向航行，小时后到达D点，整个航行过程中存在不同的三点到B点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在中，，那么A＝_____________;14．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为__ ______15．已知实数,满足，则的最大值为.9\n16．如果一个实数数列满足条件：（为常数，），则称这一数列“伪等差数列”，称为“伪公差”。给出下列关于某个伪等差数列的结论：①对于任意的首项，若<0则这一数列必为有穷数列；②当>0，>0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，伪公差为3，可以是这一数列中的一项；⑤若这一数列的首项为0，第三项为-1，则这一数列的伪公差可以是。其中正确的结论是 ________________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.（本题10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B的大小；（2）若，，求b和三角形ABC的面积S。18．（本题10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：且a，b，c成等比数列，（1）求角B的大小；（2）若，求三角形ABC的面积。19．（本题10分)若不等式的解集是，(1)求的值；9\n(2)求不等式的解集.20．（本题12分）已知数列是等差数列，其中（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最大值。21．(本题14分)某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格(以班级为单位)：学段硬件建设(万元)配备教师数教师年薪(万元)初中26/班2/班2/人高中54/班3/班2/人因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班。（Ⅰ）请用数学关系式表示上述的限制条件；(设开设初中班x个，高中班y个)（Ⅱ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？22．（本题14分）已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设,是数列的前项和，证明．9\n岭南师范学院附属中学2022—2022学年第一学期期中考试高一年级理科数学答案一．BACCCBBBABDD12.D【解析】试题分析：以为坐标原点，以正北方向为轴正方向，以正东方向为轴的正方向建立直角坐标系．由题意可得，，．所以在航行过程中与点距离最近的为点，最远的为点当为首项时公比且，解得；当时公比且，解得．综上可得或．综上可得D正确．考点：等比数列．二．13．14．15．2试题分析：因为，所以，所以，即，解得：，所以的最大值为．考点：基本不等式．9\n16.③④【解析】试题分析：对设，，则，，所以为无穷数列，则不对；对因为，符号不同，不一定为单调递增数列；对例如周期任意；对④由已知得：，则或；当时，，则或，所以④正确；对⑤（），；当时，，解得：；当时，，解得：，都不可能是，所以不正确；考点：1．数列新定义问题；2．转化思想；17.解：（1）由，根据正弦定理得，……………2分所以，……………3分由为锐角三角形得．……………5分（2）根据余弦定理，得．……………7分所以，．……………8分……………10分考点：1．正、余弦定理；2．三角形面积公式18．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将三边成等比数列转化为三边等式关系，借助于正弦定理转化为三内角的关系式，与已知条件的三角关系式结合可求得角的大小；（2）利用正弦定理及同角间三角函数关系式将已知条件化简可求得三内角大小，进而结合边求得其他边长，得到三角形面积试题解析：（1）∵∴……………2分9\n又∵……………3分∴而成等比数列，所以不是最大故B为锐角，所以……………5分（2）由，则，……………6分所以，……………7分又因为所以……………8分所以三角形ABC是等边三角形，由所以面积为……………10分考点：1．三角函数基本公式；2．同角间三角函数关系；3．正弦定理解三角形19（1）依题意，可知方程的两个实数根为和2，┄┄┄┄┄┄2分由韦达定理得：+2=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分解得：=－2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分（2）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分20．试题解析：（1）得……………4分……………6分（2）令……………8分……………9分数列的前9项都大于0，从第10项起小于0当时最大且最大值……………12分9\n考点：1．求等差数列通项公式；2．等差数列前项和的最值点评：解决本题的关键是注意利用基本不等式成立的条件:“一正二定三相等”21．解：（Ⅰ）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为1分4分5分（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为6分由（Ⅰ）作出可行域如图。（图略）9分由方程组得交点M(20,10)11分作直线，平移，当过点M(20,10)，z取最大值70。13分∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元。14分22.解：（1）由已知得，其中……………2分所以数列是公比为的等比数列，首项……………3分，所以……………4分（2）由（1）知所以所以……………6分……………7分因此，所以，当即，即所以是最大项……………9分9\n所以．……………10分（3）……………11分……………12分又令，显然在时单调递减，所以故而……………14分考点：1．数列的递推公式；2．错位相减法；3．裂项抵消法9
