吉林省实验中学2022—2022学年度下学期期末考试高二数学理试题一、选择题（每题5分，共60分）1．若集合，集合=（）A．B．C．D．2．下列各函数中值域为的是（）A．B．C．D．3．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()22正视图侧视图俯视图A．2,2B．2,2C．4,2D．2,44．已知实数,则“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件否开始结束输出是输入5．运行右图所示的程序框图．若输入，则输出的值为()A．B．C．D．6.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．67.若直线经过圆的圆心，则的最小值是（）11\nA．B．C．4D．28．在△ABC中，，则sinA=（）A．B．C．D．9.定义在R上的函数是偶函数，且，若时，，则的值为（）A．-1B．3C．1D．-310.△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝，则△AOB的面积＝（）A．B．C.1D．11．已知A，B，C，D，E是函数＞0，0＜＜一个周期内的图像上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为()A.B.C.D.12．已知为上的可导函数，当时，，则关于x的函数的零点个数为（）A.1B.2C.0D.0或2203040506070岁频率/组距第15题图0.03500.0125二、填空题（每题5分，共20分）13．已知为等差数列，若，则的值为14.为了“城市品位、方便出行、促进发展”，长春市拟修建地铁，市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建地铁的市民占80％，在11\n赞成修建地铁的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有400人，岁的有m人，则n= ,m=15.已知，，，和的夹角是锐角，则实数的取值范围是.16.已知函数，若时，不等式恒成立，则实数t的取值范围是.三解答题17．（12分）已知关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（Ⅱ）若，求方程没有实根的概率．18.（满分12分）已知圆C：。（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P()向该圆引一条切线，切点为M且有（O为原点），求使取得最小值时点P的坐标。19．（满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．11\n20．(满分12分）数列：满足(Ⅰ)设，求证是等比数列；(Ⅱ)求数列的通项公式;（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证:21．已知函数（1）求的单调区间；（2）求证：选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D。（I）求证：（II）若，⊙O的半径为1，且P为弧的中点，求AD的长。11\n23.本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值24．选修4—5：不等式选讲已知函数（1）当a=0时，解不等式（2）若存在成立，求实数a的取值范围。11\n参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）题号123456789101112答案ADDBBCCACDBC二．填空题（本大题共20小题，每小题5分，共计20分）13．14.n= 4000,m=112015.且16._____．三、解答题17.(满分12分)解：（Ⅰ）基本事件共有36个，方程有实根，方程有根等价于Δ≥0，(a－2)2＋b2≥16.设“方程有两个实根”为事件，则事件包含的基本事件共36-14=22个，故所求的概率为；……………6分11\n（Ⅱ）试验的全部结果构成区域，其面积为设“方程无实根”为事件，则构成事件的区域为，其面积为故所求的概率为………………12分18.(满分12分)解:(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得＝，即k＝2±，从而切线方程为y＝(2±)x..……………………3分②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切线的方程为y＝(2±)xx＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.……………………6分(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0..…………8分即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0..……………………10分解方程组得P点坐标为..……………………12分19.(满分12分)证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥．因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，所以，又因为四边形是正方形，所以．因为，所以．又因为，所以平面平面．-（Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，．11\n建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥的底面边长为2，则，，，，，．所以，．设（），由已知可求得．所以，．设平面法向量为，则即令，得．易知是平面的法向量．因为，所以，所以平面平面．-------------------8分（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，平面法向量为．因为，所以是平面的一个法向量．由已知二面角的大小为．所以，11\n所以，解得．所以点是的中点．----------------12分20．(满分12分)解：(Ⅰ)由得 ……………………2分 ，即 ，……………………4分是以２为公比的等比数列 ……………………5分 (Ⅱ)又 即，……………………6分 故 ……………………7分 （Ⅲ）……………………9分 ……………………10分 又……………………12分21.（满分12分）．解：（1），………………1分 …………3分令上单调递减；令上单调递增。故增区间为减区间为（-1，0）……………………5分 11\n（2）……………………6分 令…………7分令则令当在（-1，0）上单调递增；当上单调递减，故上单调递减；…………9分当时，，即，则在（-1，0）上单调递增；当即上单调递减…………11分 故…………12分22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲23.本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程解：（1）极点为直角坐标原点O，，∴，可化为直角坐标方程：x+y-1=0.……………………5分11\n(2)将圆的参数方程化为普通方程：，圆心为C（0，-2），∴点C到直线的距离为，∴圆上的点到直线距离的最小值为。……………………5分24.本题满分10分）解：(1)由|x+1|≥2|x|,得x2+2x+1≥4x2,解得-≤x≤1.所以不等式的解集是[-,1].……………………10分(2)由题意可知，存在x∈R,使得|x+1|-2|x|≥a.令φ(x)=当x＜-1时，φ(x)＜-2；当-1≤x＜0时，-2≤φ(x)＜1；当x≥0时，φ(x)≤1.综上可得：φ(x)≤1,即a≤1.……………………10分11
