2022年华南师范大学附属中学高三综合测试数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1.已知是虚数单位，则复数所对应的点落在A.第一象限；B.第二象限；C.第三象限；D.第四象限2.已知全集，，，则A.；B.；C.；D.3.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则A.4；B.5；C.6；D.74.若满足约束条件，则的取值范围是A.；B.；C.；D.5.分别是正方体的棱的中点，如图是过和的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为6.若将函数表示为，其中，，，，为实数，则A.10；B.20；C.；D.7.在中，已知向量，，则的面积为A.；B.；C.；D.8.对应定义域和值域均为的函数，定义：，，11，，，方程的零点称为的阶不动点。设，则的阶不动点的个数是A.；B.；C.；D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必作题（9~13题）9.双曲线的焦距是10.11.已知，则的值为12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是13.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（二）选作题（请考生在以下两个小题中任选一题作答）14.（坐标系与参数方程选作题）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知圆的方程是，则它的圆心到直线（为参数）的距离等于15.（几何证明选讲选作题）如图，已知是外一点，为的切线，为切点，割线经过圆心，11若，，则的半径长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（满分12分）已知函数，的图像的一部分，如图所示。（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值与最小值及相应的的值17.（满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表。已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列、数学期望以及方差。下面的临界值表仅供参考：1118.（满分14分）数列是公差为正数的等差数列，、且是方程的两根，数列的前项和为，且，（1）求数列、的通项公式；（2）记，求数列的前项和19.（满分14分）如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，分别是、的中点，平面，（1）证明：平面（2）若，求与平面所成角的正弦值20.（满分14分）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（1）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；（2）求线段的长的最小值；（3）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论。1121.（满分14分）已知函数，，（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意的，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：，112022年华南师范大学附属中学高三综合测试答案一、选择题：1~8：CDADBBAC；8.，，其图像为两条线段组成的折线，如图，与有两个交点，故的一阶不动点个数为2；，，其图像为四条线段组成的折线，如图，与有4个交点，故的2阶不动点个数为4，由此可否定选项B、D；，，其图像为八条线段组成的折线，如图，与有8个交点，故的3阶不动点个数为8，由此可否定选项A；二、填空题：9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.4；三、解答题16.解：（1）由图像知，，，，得，由对应点得，当时，，又，。（2）11，，当，即时，的最大值为；当，即时，的最小值为；17.（1）列联表补充如下：（2）解：因为，即，又，那么，我们有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关。（3）的所以可能取值为0，1，2，3.；；；分别列如下：则，。11的数学期望与方差分别为，。18.解（1）由，，且得：，。，，。在中，令得：，当时，，两式相减得：，，。（2），，，两式错位相减得：，。19.（1）证明：连接，，分别为的中点，，又，且，四边形为平行四边形。即，平面，平面。（2）解一：由（1）知，平面，平面，，又，。分别以、、为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，从而，，又是平面的法向量，是所求角为，则11所以与平面所成角的正弦值为。解二：作过C的母线，连接，则是上底面圆的直径，连接，得，由（1）已知，平面，平面，平面，连接，则为与平面所成的角。设，则，，在中，，所以与平面所成角的正弦值为。20.解（1），，令，则由题设可知，直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以，（），从而有。（2）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为，由，由，直线与直线的交点，直线与直线的交点。11又，，等号当且仅当时取到，即，故线段长的最小值是。（3）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有，又，所以以为直径的圆的方程为，令，解得，或，所以以为直径的圆恒过定点或。注：写出一个坐标即可给分。21.解：（1）由得：，所以，由，得，故的单调增区间为，单调减区间为。（2）由可知为偶函数，于是对任意的成立，等价于对任意的成立，由，得，①当时，，此时在上为增函数；故，符合题意；②当时，，当变化时，、的变化情况如下表：由此可得，在上，，依题意，，又，，，综合①②得：实数的取值范围是。11（3），，，，，，由此得：故。11
