广东仲元中学高二期中考试数学试题（2022.11）一．选择题1.已知集合,,则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.已知命题：，则（）A.B.C.D.3.已知x可以在区间[－t，4t](t＞0)上任意取值，则x∈[－t，t]的概率是().A．B．C．D．4.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.B.C.D.5.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图l，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则的值为( )A．7B．8C．9D．106.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是( )A．4B．C．D．-47.是以、为焦点的双曲线上一点，，则等于（）.A．B.C.或D.48.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥但不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生与全是女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．恰有1名男生与恰有2名女生10\n9.按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是().A．3B．4C．5D．610.如图是根据，的观测数据（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有线性相关关系的图是（）oxyoxyoxyoxy①②③④A.①②B.①④C.②③D.③④11．设,是椭圆：=1（＞＞0）的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则的离心率为....12．直线与椭圆相交于两点，该椭圆上点使得面积为2，这样的点共有（）个A．1B．2C．3D．4二．填空题13．若“”是真命题，则实数的最小值为．14．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．15．10\n假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号，，，．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795416.椭圆方程为，双曲线的方程为，，的离心率之积为，则的渐近线方程为.三．解答题17．（本小题满分12分）给定两个命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；(1)“”是的什么条件？（2）如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．18.（本小题满分10分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：(单位：万元)收入8.28.610.011.311.9支出6.27.58.08.59.8（1）请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表数据求回归直线方程，其中；1002468812x(万元)y(万元)864210(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测该社区一户收入为15万元家庭年支出为多少?10\n（分数）0405060708090100频率组距0.0100.0050.020图40.025a19．（本小题满分12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20．（本小题满分12分）已知双曲线的一个焦点为，实轴长为，经过点作直线交双曲线于两点，且为中点.（1）求双曲线的方程；（2）求直线的方程.21．（本小题满分12分）已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设、是直线上的两个点，点与点关于原点对称，若求的最小值．22．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．10\n（1）求椭圆的方程；（2）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．高二期中考试数学试题参考答案一．选择题ACACBCADBDCD（12题为期中复习题一第12题改编）二．填空题13．1.14．560015．785，567，199，810．16.三．解答题17．（本小题满分12分）解：（1）“”是的充分不必要条件；（答充分条件也对）…………2分（2）对任意实数都有恒成立；…………5分关于的方程有实数根；…………7分如果P正确，且Q不正确，有；…………9分如果Q正确，且P不正确，有．…………11分所以实数的取值范围为．…………12分18.（本小题满分10分）解：（1）散点图（略）…………2分(2)（万元）…………3分（万元）…………4分故…………5分所以回归直线方程为…………7分(3)当社区一户家庭年收入为15万元时其年支出为万元…………9分答：可预测该社区一户年收入为15万元家庭年支出为万元…………10分10\n19．（本小题满分12分）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以．…………………………1分解得．………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．……………………………5分（3）解：成绩在分数段内的人数为人，分别记为，．……6分成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，．7分若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．…9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共7种．……11分所以所求概率为．………………………………………………12分20．（本小题满分12分,教材《选修2-1》P.80第9题改编）解：（1）由已知：…………………………………2分所以双曲线的方程为……………………4分（2）设点10\n并设经过点M的直线的方程为………5分把代入双曲线的方程，得①…………6分所以………………7分解得.…………………8分当时，方程①成为根的判别式，方程①有实数解.…………10分所以，直线的方程为……………………………12分21．（本小题满分12分,教材《选修2-1》P.47例6改编）（1）解：设点，依题意，有．………………2分整理，得．…………………………………4分所以动点的轨迹的方程为．……………………5分（2）解：∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为．…………………………………6分∵、是直线上的两个点，∴可设，（不妨设）．∵，∴．…………………………………7分即．即．…………………………………8分由于，则，．10\n∴．……………………………10分当且仅当，时，等号成立．……………………………11分故的最小值为．…………………………………12分22．（1）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），则，又点在椭圆上，得．解得．∴椭圆的方程为．当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），则，又点在椭圆上，得．解得，这与矛盾．综上可知，椭圆的方程为．……4分解法二：设椭圆方程为（），将、、代入椭圆的方程，得解得，．∴椭圆的方程为．……4分（2）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得，……5分10\n设直线与椭圆的交点，，由根与系数的关系，得，．……7分直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点坐标为．……9分下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：∵，，∴．因此结论成立．综上可知，直线与直线的交点在直线上．……12分证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，得，……5分设直线与椭圆的交点，，由根与系数的关系，得，．……7分直线的方程为：，即．直线的方程为：，即．……9分由直线与直线的方程消去，得10\n．∴直线与直线的交点在直线上．……12分证法三：将直线：，代入椭圆方程并整理，得，……5分设直线与椭圆的交点，，由根与系数的关系，得，．消去得，．……7分直线的方程为：，即．直线的方程为：，即．……9分由直线与直线的方程消去得，．∴直线与直线的交点在直线上．……12分10
