广东省2022年上学期珠海市高三数学摸底考试试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则AA．B．C．D．2．BA．1B．2C．−iD．−2i3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有BA．280种B．350种C．70种D．80种4．一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与所成的角为DA．30°B．45°C．15°D．60°5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是AA．B．C．D．6．若定义在上的奇函数f(x)在单调递增，且，则满足的解集是DA．B．C．14/14D．7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是CA．B．2C．D．8．直线是曲线和曲线的公切线，则CA．2B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为ABA．B．C．D．10．如图是函数的部分图象，则BCDA．B．C．D．14/1411．已知，则ACDA．B．C．D．12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为 ……其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则CDA． B． C． D．提示：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。14/1413．椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于A，B两点，、都与轴垂直，则=________．14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________（用数字作答）．204615．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则 ．16．一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：中，由得14/14………………………………………………………………………1分∴………………………………………………………………………2分∵不是直角三角形∴∴………………………………………………………………………3分即………………………………………………………………………4分∵∴………………………………………………………………………6分选①：由，及得…………………………………………………7分由得……………………………………………………9分不合理，故不存在．………………………………………………………………………10分选②：由得………………………………………………………………………8分∴………………………………………………………………………9分∴为直角，不合题设，故不存在．…………………………………………………10分选③：由14/14得．………………………………………………………10分18．（12分）已知数列是正项等比数列，满足，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）设正项等比数列的公比为由得解得………………………………2分所以的通项公式……………………………………………………………4分（2）………………………………………………6分故………………………………………………………………8分所以的前项和:．……………………………………………12分14/1419．（12分）如图，三棱锥中，，，平面PBC⊥底面ABC，，分别是，的中点．（1）证明：PD⊥平面ABC；（2）求二面角的正切值．（1）证明：∵，是中点∴PD⊥BC…………………………………………1分∵平面PBC⊥底面ABC，PD平面PBC，平面PBC底面ABC∴PD⊥平面ABC.………………………………………………4分（2）解：如图，取中点，连接，则………………………………………………5分∵，是的中点，∴，……………………………………………………6分，∴，…………………………………………………………7分∵PD⊥平面ABC14/14∴，∴平面………………………………………………………………………8分∴………………………………………………………………………9分∴为二面角的平面角.……………………………………………………10分在中，…………………………………………11分∴二面角的正切值为2．……………………………………………………………12分20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值:该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图14/14下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量指标值频数(1)以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．解：(1)由题设知，………………………………………1分的分布列为………………………………………………………………………3分设备升级前利润的期望值为……………………4分14/14∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．………………………5分(2)升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)则………………………………………………………………………6分患者购买一件合格品的费用的分布列为……………………………8分则………………………………………………10分则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为………………………………………………………………………12分14/1421．（12分）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）讨论的零点的个数．解：（1）∵∴…………………………………………………1分时时，时.……………………………3分∴时，的减区间是，增区间是．………………………4分（2）①时，∵且的减区间是，增区间是∴是的极小值，也是最小值…………………………………5分，………………………………6分取且……………………………7分则…………………………8分∴在和上各一个零点………………………………………9分②时，只一个零点…………………………………10分综上，时，有两个零点；…………………………………………11分时，一个零点．………………………………………………………………………12分14/1422．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．(1)求抛物线的方程；(2)若，求直线的方程;(3)若为直线上的动点，求的最小值．解：(1)由到直线的距离为得得或………………………………………………………2分∵∴…………………………………………………………………3分∴抛物线.……………………………………………………4分(2)由知∴…………………………………………………………………5分设切点，14/14则即……………………………………………………6分∵，∴即………………………………7分∴．………………8分(3)若为直线上的动点，设，则由(2)知∵，∴∴与联立消得…………“＊”……………………………………9分则，是“＊”的二根14/14∴………………………………………………………………………10分………………………………………………………………………11分当时，得到最小值为．…………………………12分欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org14/14
