2022年秋季学期高二期中考试（数学理科）试题（时间120分钟总分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是( )A．平行或异面B．相交C．异面D．平行2．若k<0，b<0，则直线y＝kx＋b不通过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D.第四象限3．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )A．－6B．6C．－D.4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )A.B．2C.D．25.一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( )A．27πB．18πC．9πD．54π6．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为，则x的值为( )A．2B．－8C．2或－8D．8或－25．7.直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( )-7-\n8．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为( )A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离9．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )A．πQB．2πQC．3πQD．4πQ10．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝911．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )A．3x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0C．x－2y－3＝0D．x－2y＋3＝012．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知点A(3，2)，B(－2，a)，C(8，12)在同一条直线上，则a＝________．14.已知直线3x+2y+1=0与直线6x+my+1=0平行，则这两条平行线间的距离为________．15．已知正三角形ABC的边长为1，则它的直观图的面积为________．16.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2-7-\n＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：（1）过点(－1,3)，且与l平行；（2）过点(－1,3)，且与l垂直；18．(本小题满分12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.（1）倾斜角为45°；（2）在x轴上的截距为1.19．(本小题满分12分)已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积．20.(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.（1）求以线段CD为直径的圆E的方程；（2）若直线l与圆C相离，求k的取值范围．21.(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．-7-\n（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离．-7-\n2022年秋季学期高二期中考试（数学）答案(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1A2A3B4D5A6C7B8D9B10C11D12C二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13a＝－8141516：4x＋3y＋25＝0或x＝－4三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步）17解：(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－，∴直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.（5分）（2）l′的斜率为－，∴直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即4x＋3y－5＝0.（10分）18解 (1)倾斜角为45°，则斜率为1.∴－＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，∴m＝－1（6分）(2)当y＝0时，x＝＝1，解得m＝－，或m＝2当m＝－，m＝2时都符合题意，∴m＝－或2.（12分）19解：(1)依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点，∵AB中点为(1,2)，斜率为1，∴AB垂直平分线方程为y－2＝－(x－1)，-7-\n即y＝－x＋3.联立解得即圆心C(－3,6)，半径r＝＝2，所求圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.（6分）(2)点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，∴m＝12或m＝0(舍去)，|AQ|＝12，点B到直线AQ的距离为4.所以△QAB的面积为24．（12分）20解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝＝2，所以r＝，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5（6分）(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离＞2，解得k＜.所以k的取值范围为.（12分）21解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以此几何体的表面积S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.（6分）(2)分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ|＝＝＝a.所以P，Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a.（12分）22解：（1）在中，为中点，所以．又侧面底面，平面平面，平面，所以平面．（4分）-7-\n（2）连结，在直角梯形中，,，有且，所以四边形是平行四边形，所以．由（1）知，为锐角，所以是异面直线与所成的角．因为，在中，，，所以，在中，因为，，所以，在中，，，所以异面直线与所成的角的余弦值为（8分）（3）由（2）得，在中，，所以，．又设点到平面的距离，由得，即，解得．（12分）-7-
