凤城高中2022级高三第一次检测数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的是( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知a＞b，则下列不等式成立的是( )A．a2－b2≥0B．ac＞bcC．ac2＞bc2D．2a＞2b3．已知x∈，cosx＝，则tan2x＝( )A．B．－C．D．－4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )A．log2xB．C．logxD．2x－25．若函数f(x)＝sin(φ∈)是偶函数，则φ＝( )A．B．C．D．6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(3，f(3))处的切线方程是y＝x＋，则f(3)＋f′(3)的值是( )A．1B．2C．3D．57．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )A．a＝b<cb．a＝b>cC．a<b<cd．a>b>c8．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为( )A．3B．2C．1D．09．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cosAcosC＝( )A．B．C．－D．－710．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于( )A．1B．－1C．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝________.12．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a＝2，b＝3，则＝________.13．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.14．下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(﹁q)是真命题．其中真命题为________．15．若函数f(x)＝x＋msinx在R上单调递增，则实数m的取值范围为________．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．17．(本小题满分12分)已知f(x)＝4cosxcos－2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．718．(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，如果对于0<x<y，都有f(x)>f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(－x)＋f(3－x)≥－2.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝是R上的奇函数．(1)求m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a.若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．20．(本小题满分13分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(sinA－sinB，sinC)，向量n＝(sinA－sinC，sinA＋sinB)，且m∥n.(1)求角B；(2)若sinA＝，求cosC的值．21．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x1，x2∈均有|f(x1)－f(x2)|<1成立，求实数a的取值范围．7凤城高中2022级高三第一次检测数学试题（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选C 由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．2．解析：选D 在A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B、C不成立.3．解析：选D 依题意得sinx＝－＝－，tanx＝＝－，所以tan2x＝＝＝－.4．解析：选A f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.5．解析：选C ∵f(x)为偶函数，∴＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝3kπ＋π(k∈Z)．又∵φ∈，∴φ＝π.6．解析：选B 因为切点(3，f(3))在切线上，所以f(3)＝1＋＝，又因为切点处的导数为切线的斜率，所以f′(3)＝，所以f(3)＋f′(3)＝2.7．解析：选B ∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，∴a＝b.7又∵函数y＝logax(a>1)为增函数，∴a＝log23>log22＝1，c＝log32<log33＝1，∴a＝b>c.8．解析：选C 依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点．9．解析：选C 依题意得a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝＝.又0°<b<180°，所以b＝60°，c＋a＝120°.又c－a＝90°，所以c＝90°＋a，a＝15°，cosacosc＝cosacos(90°＋a)＝－sin2a＝－sin30°＝－.10．解析：选a>0得x>.因此，函数y＝log(3x－a)的定义域是，所以＝，即a＝2.答案：212．解析：＝＝＝.答案：13．解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意.714．解析： 由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(﹁)q)为假命题，故④不正确．答案：①②③15．解析：∵f′(x)＝1＋mcosx，∴要使函数f(x)＝x＋msinx在R上单调递增，则1＋mcosx≥0对任意实数x都成立．∵－1≤cosx≤1，①当m＞0时，－m≤mcosx≤m，∴－m≥－1，∴0＜m≤1；②当m＝0时，显然成立；③当m＜0时，m≤mcosx≤－m，∴m≥－1，∴－1≤m<0.综上，－1≤m≤1.答案：三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．17．解：(1)因为f(x)＝4cosxcos－2＝4cosx－2＝sin2x＋2cos2x－2＝sin2x＋cos2x－1＝2sin－1.7所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.于是当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－2.18．解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(－x)＋f(3－x)≥－2f，f(－x)＋f＋f(3－x)＋f≥0＝f(1)，f＋f≥f(1)，f≥f(1)，则解得－1≤x<0.故不等式的解集为上为增函数，在上为减函数．∴函数f(x)在上的最大值f(3)＝，又∵f(0)＝－a<0，f(4)＝11ae－4>0，∴f(0)<f(4)．∴f(x)在上的最小值为f(0)＝－a.∴要使函数f(x)对任意x1，x2∈均有|f(x1)－f(x2)|<1成立，只需|f(3)－f(0)|<1即可，即<1.∵a>0，∴0</f(4)．∴f(x)在上的最小值为f(0)＝－a.∴要使函数f(x)对任意x1，x2∈均有|f(x1)－f(x2)|<1成立，只需|f(3)－f(0)|<1即可，即<1.∵a></b<180°，所以b＝60°，c＋a＝120°.又c－a＝90°，所以c＝90°＋a，a＝15°，cosacosc＝cosacos(90°＋a)＝－sin2a＝－sin30°＝－.10．解析：选a></log33＝1，∴a＝b></x<y，都有f(x)></b<cd．a></cb．a＝b>
