聊城一中2022级2022—2022学年度第一学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1、设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C．第三象限D.第四象限2、已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、若非零向量满足且，则向量的夹角为（）.A.30oB.60oC.120oD.150o4、已知命题，则（）.A．是假命题，B．是假命题，C．是真命题，D．是真命题，5、若函数上既是奇函数又是增函数，则的图象是（）6、设是第二象限角,为其终边上的一点,且=（）9\nA.B.C.D.7、已知等比数列的公比且，又，则()8、函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9、已知点M（a,b）在不等式组确定的平面内，则点N（a+b,a-b）所在平面区域的面积是（）A.1B.2C.4D.810、已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11、已知等差数列{an}的首项a1＝1，前五项之和S5＝25，则{an}的通项an＝________.12、已知的取值范围是_______.13、曲线与直线和所围成的平面图形的面积为_________.14、已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为______.15.设定义域为的函数同时满足以下三个条件时称为“友谊函数”：（1）对任意的；（2）；（3）若，则有成立，9\n则下列判断正确的序号有_________.①为“友谊函数”，则；②函数在区间上是“友谊函数”；③若为“友谊函数”，且.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16、（本小题满分12分）设命题：函数的定义域为；命题对一切的实数恒成立，如果命题“且”为假命题，求实数的取值范围.17、（本小题满分12分）设数列的前n项和为,且，，数列满足，点在直线上，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设,求数列的前项和18、（本小题满分12分）已知函数，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(Ⅰ)求的值和函数的单调递增区间；(Ⅱ)求函数在区间上的值域.19、（本小题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别是，且.（I）求的值；（II）若b=2，求面积的最大值.20、（本小题满分13分）数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an（n∈N+）（1）求数列{an}通项公式；9\n（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；（3）设（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.21、（本小题满分14分）设函数．（Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，求证：．9\n聊城一中2022级2022—2022学年度第一学期期中考试数学试卷（理科）（参考答案）一、选择题ABCDAAACCB二、填空题11、2n-112、13、14、15、①②③三、解答题16、解：命题：对于任意的，恒成立，则需满足………3…………6分因为“”为假命题，所以至少一假（1）若真假，则是空集。……………7分（2）若假真，则……………9分（3）若假假，则……………11分所以……………12分17、解：（Ⅰ）由可得，两式相减得.………3分又,故.故是首项为，公比为的等比数列.所以……4分由点在直线上，所以.则数列是首项为1，公差为2的等差数列.则………6分9\n（Ⅱ）因为，所以.…………7分则,…………8分两式相减得：所以.………………………12分18.解:(Ⅰ)==……………3分由函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,知，即.所以,即.…………………………5分所以令,解得:.所以函数的单调递增区间为,.………………8分（Ⅱ）因为,所以所以所以所以函数的值域为.………………………………………12分19、（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，，由题意知，∴；………………2分又在△ABC中，∴9\n，又，∴.………………6分（Ⅱ）∵b=2，∴由可知，，即，∴，……………………8分∵，∴………………10分∴.∴△ABC面积的最大值为．…………………………12分20、解:（1）由a1=8，a4=2及an+2=2an+1-an（n∈N+）可求得=6并且.所以是以8为首项，以-2为公差的等差数列.所以an=-2n+10；----4分（2）由an=-2n+100得当1.------6分当时=40+-------8分；-----------9分（3）bn＝＝.………11分Tn＝＝＜＝.………13分21、解：（Ⅰ）∵∴…………………………………………2分9\n又在点处的切线为，…………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，在上恒成立在上是单调减函数……………………………6分当时，令解得：当变化时，随的变化情况情况如下表：—0+↘↗由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数…………8分综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为.………………9分（Ⅲ）当时，要证即证令，只需证………………………………………………………………………10分由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又，在内存在唯一的零点，则在上有唯一的零点，………12分9\n设的零点为，则，即由的单调性知：当时，；当时，在上为减函数，在上为增函数…………………………13分当时，又，等号不成立，故当时，………………………………………………14分9
