2022-2022学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试数学理试题考试时间：120分钟 试卷满分：150一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．函数在上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．B．C．D．3．抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则抛物线的标准方程可能是（ ）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．5．设斜率为2的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）．A．B．C．D．6．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线-10-\n交于两点，若的周长为，则的方程为（）A．B．C．D．7．双曲线的渐近线与圆相切，则（）A．B．2C．3D．68．设、分别为双曲线，的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A．2B．3C．D．10．的顶点,的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若则，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是____．12．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为____．13．过抛物线的焦点F作倾斜角为-10-\n的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则____．14．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是____．15．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为____．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题12分）已知命题函数在定义域上单调递增；命题不等式对任意实数恒成立．若是真命题，求实数的取值范围．17．（本题12分）如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，，为上一点，且，．（1）求的长；（2）求二面角的正弦值．18．（本题12分）-10-\n是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点和；（2）线段被直线垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程．19．（本题12分）已知椭圆（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且求线段长度的最小值．20．（本题13分）是双曲线：上一点，，分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．21．（本题14分）如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．（1）求的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦,为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．-10-\n2022-2022学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试数学理试题参考答案1-10DDDDBAABAC11．212．13．214．15．解析：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，则在椭圆上，，解得：三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：命题P函数y＝loga（1－2x）在定义域上单调递增；∴0<a<1．又∵命题Q不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对任意实数x恒成立；∴a＝2或即－2<a≤2．∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2<a≤217．解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，-10-\n故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴==（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴•=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，-10-\n），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ==﹣故sinθ==18．（本题12分）【解析】假定在抛物线上存在这样的两点∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且．设线段AB的中点为．代入x+5y-5=0得x=1．于是：-10-\nAB中点为．故存在符合题设条件的直线，其方程为：19．（本题12分）解：（1）由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．因此a＝2，c＝．故椭圆C的离心率e＝＝．（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．又x＋2y＝4，所以|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝＋（y0－2）2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4 （0＜x≤4）．因为＋≥4（0＜x≤4），当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．20．【解析】（1）点是双曲线：上，有，由题意又有，可得，则（2）联立，得，设，则，设，，即又为双曲线上一点，即，有化简得：又，在双曲线上，所以，-10-\n由（1）式又有得：，解出，或21．【解析】（Ⅰ）因为所以即，因此从而，于是，所以，故椭圆方程为,双曲线的方程为．（Ⅱ）因为直线不垂直于轴且过点，故可设直线的方程为．由得易知此方程的判别式大于0．设，则是上述方程的两个实根，所以因此，的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即．由得，所以从而设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以-10-\n因为点在直线的异侧，所以，于是,从而又因为，所以四边形面积而，故当时，取得最小值2．四边形面积的最小值为2．-10-
