2022-2022学年山东省济宁一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1．设复数z满足z•（1+i）=2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．已知A是数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．若非零向量满足，，则的夹角为（ ）A．30°B．60C．120°D．150° 4．已知f（x）=sinx﹣x，命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（ ）A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题， 5．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（ ）A．B．C．D． 6．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（ ）A．2B．C．D．1 20\n7．若函数，若a•f（﹣a）＜0，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1） 8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（ ）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位 9．已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（ ）A．﹣1B．C．D．1 10．已知函数f（x）=ex﹣（x＜0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知tanα=，则= ． 12．函数f（x）=的定义域为 ．20\n 13．曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为 ． 14．在△ABC中，，AD⊥AB，，则= ． 15．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一结论判断下列命题：①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；②函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心也是函数y=tanx的一个对称中心；③存在三次函数h（x）方程h′（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；④若函数g（x）=x3﹣x2﹣，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=﹣1006.5其中正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．已知命题P：函数f（x）=x3+mx2+mx﹣m既有极大值又有极小值；命题Q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围． 17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c． 18．已知函数f（x）=（2cosωx+sinωx）sinωx﹣sin2（+ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（x）=2x﹣2﹣x的值和函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域． 19．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k值；（Ⅱ）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的实数t的取值范围；（Ⅲ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．20\n 20．某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值． 21．（14分）（2022•济宁一模）设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）﹣ax+ex＞0． 20\n2022-2022学年山东省济宁一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1．设复数z满足z•（1+i）=2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用分的代数形式的混合运算求出复数z，得到复数的对应点，判断所在象限即可．解答：解：复数z满足z•（1+i）=2i+1（i为虚数单位），∴z====+i．复数对应点（，）在第一象限，故选：A．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查． 2．已知A是数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：已知A是数集，“A∩{0，1}={0}”说明集合A中必有0元素，不含有1元素，利用子集的性质进行求解；解答：解：若“A={0}”，可得“A∩{0，1}={0}∩{0，1}={0}”，若“A∩{0，1}={0}”，可得集合A中，0∈A，1∉A，可以取A={﹣1，0}也满足题意，∴“A={0}”⇒“A∩{0，1}={0}”∴“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件，故选B；点评：此题主要考查充分必要条件的定义以及子集的性质，是一道基础题； 3．若非零向量满足，，则的夹角为（ ）A．30°B．60C．120°D．150°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．20\n分析：由（2+）•=0，化简得到||2=﹣2•，结合条件||=||，将化简式变为||•||=﹣2•，再结合cosθ=，易求出与的夹角θ．解答：解：∵（2+）•=0∴（2+）•=2+2•=0即||2=﹣2•又∵||=||∴||2=||•||=﹣2•又由cosθ=易得：cosθ=﹣则θ=120°故选：C点评：若θ为与的夹角，则cosθ=，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握． 4．已知f（x）=sinx﹣x，命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（ ）A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题，考点：全称命题．专题：简易逻辑．分析：先判断命题P的真假性，再写出该命题的否定命题即可．解答：解：∵f（x）=sinx﹣x，∴f′（x）=cosx﹣1≤0∴f（x）是定义域上的减函数，∴f（x）≤f（0）=020\n∴命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，是真命题；∴该命题的否定是．故选：D．点评：本题考查了命题真假的判断问题，也考查了命题与命题的否定之间的关系，是基础题． 5．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（ ）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和函数取值的是否对应进行判断即可．解答：解：∵函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴排除B，D．∵f（0）=1﹣0=0＞0，∴排除C，故选：A．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性和函数取值符合是否对应是解决函数图象的基本方法． 6．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（ ）A．2B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．解答：解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生分析和运算能力． 20\n7．若函数，若a•f（﹣a）＜0，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）考点：分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数的图象，化简a•f（﹣a）＜0可化为a•f（a）＞0，从而求解．解答：解：作函数的图象如下，故a•f（﹣a）＜0可化为a•f（a）＞0，即a与f（a）同号，故a＞1或a＜﹣1，故选C．点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了函数的奇偶性与不等式的解法，属于中档题． 8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（ ）20\nA．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．解答：解：依题意，f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题． 9．已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（ ）A．﹣1B．C．D．1考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过已知条件判断求出函数的周期，判断对数值的范围，利用偶函数与周期转化自变量的值满足已知函数表达式，求出函数值即可．20\n解答：解：∵偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），周期为：2，∵当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+，∴lo5=﹣∈（﹣2，﹣1），2﹣∈（0，1）f（lo5）=f（2﹣）=f（﹣2）===1．故选D．点评：本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力． 10．已知函数f（x）=ex﹣（x＜0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象，结合图象解题．解答：解：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴有对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象：∴函数y=g（x）=ln（x+a）的图象是把由函数y=lnx的图象向左平移且平移到过点（0，）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，）代入y=ln（x+a）得，=lna，∴a==，20\n∴a＜，故选：B．点评：本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知tanα=，则= 3 ．考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据二倍角的三角函数公式，将原式的分子和分母都化成关于sinα、cosα的二次齐次式，再将分子和分母都除以cos2α的值，得到关于tanα的式子，代入题中数据即可求出原式的值．解答：解：∵（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α，cos2α=cos2α﹣sin2α∴=====3故答案为：3点评：本题给出α的正切之值，求关于sinα、cosα的分式的值．着重考查了二倍角的三角函数公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题． 12．函数f（x）=的定义域为 （0，1] ．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0、分母不为0联立取交集即可．解答：解：要使函数有意义，则，20\n解得0＜x≤1．所以原函数的定义域为（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及对数不等式的解法． 13．曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为 4﹣ln3 ．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）|﹣2=3﹣1﹣1n3+2=4﹣ln3．故答案为：4﹣ln3点评：本题主要考查定积分求曲边梯形的面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基础题． 14．在△ABC中，，AD⊥AB，，则= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的加法和减法的三角形法则，将转化为向量和表示，利用AD⊥AB，则•=0，以及，即可求得答案．解答：解：在△ABC中，，=（+）•=（+）•，20\n又∵=﹣，∴=[（1﹣）+]•=（1﹣）•+•=（1﹣）•+||又∵AD⊥AB，即⊥∴•=0，且，∴=（1﹣）×0+=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量数量积的运算．若两条直线直线垂直，则两直线上的向量也垂直，等价于两向量的数量积为0，解题中还运用了向量的模的性质，即=||2，这个性质在解决向量问题时会经常用到．属于中档题． 15．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一结论判断下列命题：①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；②函数f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心也是函数y=tanx的一个对称中心；③存在三次函数h（x）方程h′（x）=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；④若函数g（x）=x3﹣x2﹣，则g（）+g（）+g（）+…+g（）=﹣1006.5其中正确命题的序号为 ②③④ （把所有正确命题的序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：①③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；②根据新定义求出对称中心，而y=tanx的对称中心是（），继而判断；④求得函数g（x）=x3﹣x2﹣的对称中心（），g（x）+g（1﹣x）=﹣1，继而求出值．20\n解答：解：任何三次函数都有且只有一个对称中心，故①不正确；∵f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5，∴f′（x）=3x2﹣6x﹣3，∴f″（x）=6x﹣6，令f″（x）=6x﹣6=0，解得x=1，f（1）=0，∴f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的对称中心是（1，0），当x=1时，（，0）是函数y=tanx的一个对称中心，故②正确，∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，故③正确．∵g（x）=x3﹣x2﹣，∴g′（x）=x2﹣x，g''（x）=2x﹣1，令g''（x）=2x﹣1=0，解得x=，g（）==，∴函数g（x）=x3﹣x2﹣的对称中心是（）∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1，∴g（）+g（）+g（）+…+g（）=﹣1006.5，故④正确．所以正确命题的序号为②③④故答案为：②③④．点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．已知命题P：函数f（x）=x3+mx2+mx﹣m既有极大值又有极小值；命题Q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：导数的综合应用；简易逻辑．分析：根据极值的概念，及不等式x2+mx+1≥0的解集为R时判别式△的取值即可求出命题P，Q下m的取值范围，而根据P∨Q为真命题，P∧Q为假命题即可知道P真Q假，或P假Q真，所以求出这两种情况下的m的取值范围再求并集即可．解答：解：若函数f（x）=x3+mx2+mx﹣m既有极大值又有极小值，则：f′（x）=3x2+2mx+m有两个不同的零点，所以△=4m2﹣12m＞0；解得m＜0，或m＞3；又∀x∈R，x2+mx+1≥0为真命题时，△=m2﹣4≤0，﹣2≤m≤2；20\n由“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，知命题P，Q一真一假；∴，或；解得m＜﹣2，或m＞3，或0≤m≤2；∴实数m的取值范围：（﹣∞，﹣2）∪[0，2]∪（3，+∞）．点评：考查极值的概念，在极值点处函数导数的取值情况，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△的取值情况，以及P∨Q，P∧Q的真假和P，Q真假的关系． 17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求b，c．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形．分析：（I）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A的大小；（II）利用三角形的面积公式S=bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c．解答：解：（Ⅰ）由题意可得2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵sinA=，cosA=﹣，∴，a2=b2+c2﹣2bccosA⇔b2+c2+bc=48，⇒b=c=4，故b=4，c=4．点评：本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键． 18．已知函数f（x）=（2cosωx+sinωx）sinωx﹣sin2（+ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（x）=2x﹣2﹣x的值和函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．20\n考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=，由函数y=f（x）对称中心到最近的对称轴的距离为，知，可得T=π，=π，ω=1，所以解得：f（x）=2sin（2x﹣），由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得：﹣+kπ+kπ．（Ⅱ）由0≤x≤，可得﹣≤2x﹣≤，可得﹣≤sin（2x﹣）≤1，即可求得﹣1≤f（x）≤2，即可求得函数f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cosωxsinωx+sin2ωx﹣cos2ωx=…（3分）由函数y=f（x）对称中心到最近的对称轴的距离为，知，即T=π，=π，ω=1，…（5分）所以f（x）=2sin（2x﹣），由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得：﹣+kπ+kπ．所以函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．…（8分）（Ⅱ）因为0≤x≤，所以﹣≤2x﹣≤所以﹣≤sin（2x﹣）≤1所以﹣1≤f（x）≤2所以函数f（x）的值域为[﹣1，2]．…（12分）点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查． 19．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k值；（Ⅱ）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的实数t的取值范围；（Ⅲ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．考点：函数恒成立问题；函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．20\n分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，直接由f（0）=0求得k的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的k的值代入函数解析式，判断其单调性，然后利用函数的单调性把不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0转化为关于x的一元二次不等式，利用判别式小于0求得t的取值范围；（Ⅲ）由f（1）=求得a的值，化简函数g（x），令t=f（x）=2x﹣2﹣x换元，利用函数的单调性求得t的范围，然后对m分类求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2，经检验知：k=2满足题意；（Ⅱ）f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，∵ax单调递减，a﹣x单调递增，故函数f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．（Ⅲ）∵，∴，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=（舍去）．∴g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（Ⅰ）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，∵x≥1，∴t≥f（1）=，令，若，当t=m时，，∴m=2；若，当t=时，，解得，故舍去．综上可知m=2．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质及其应用，考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题． 20．某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；20\n（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：应用题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据条件建立利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）利用导数求利润函数的最值即可．解答：解：（Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L（x）=（x﹣4﹣a）（10﹣x）2，x∈[7，9]．（Ⅱ）求函数的导数L'（x）=（10﹣x）2﹣2（x﹣4﹣a）（10﹣x）=（10﹣x）（18+2a﹣3x），令L′（x）=0，得或x=10，∵1≤a≤3，∴．①当，即时，∴x∈[7，9]时，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上单调递减，故L（x）max=L（7）=27﹣9a．②当，即时，∴时，L′（x）＞0；时，L'（x）＜0，∴L（x）在上单调递增；在上单调递减，故．答：当每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为27﹣9a万元；当每件商品的售价为元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为万元．点评：本题主要考查函数的应用问题，利用导数解决生活中的优化问题，考查学生应用能力． 21．（14分）（2022•济宁一模）设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）﹣ax+ex＞0．20\n考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导数并求出切点，运用点斜式方程写出切线方程并化为一般式，对照条件求出a；（Ⅱ）求出导数f'（x），对a讨论，分a≤0，a＞0，分别求出单调区间，注意定义域：（0，+∞）；（Ⅲ）运用分析法证明：f（x）﹣ax+ex＞0．首先化简左边并构造函数：g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需要证明g（x）＞0，通过导数g'（x）的单调性，运用零点存在定理证明g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设为t，由导函数g'（x）的单调性，得到g'（x）在（0，t）上小于0，在（t，+∞）上大于0，从而得到g（x）在x＞0上的单调性，从而得出g（x）的极小值也是最小值g（t），证明g（t）不小于0，由＜t＜1得g（t）＞0，从而原不等式成立．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（x＞0），∴f'（x）=a﹣=，又f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，∴f'（e）=a﹣=，故a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）=a﹣=（x＞0），当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是单调减函数，当a＞0时，令f'（x）=0，则x=，令f'（x）＜0，则0＜x＜，f'（x）＞0，则x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上可得：当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，），f（x）的单调增区间为（，+∞）；（Ⅲ）当x＞0时，要证f（x）﹣ax+ex＞0，即证ex﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需证g（x）＞0，∵g'（x）=ex﹣，由指数函数和幂函数的单调性知，g‘（x）在（0，+∞）上递增，又g'（1）=e﹣1＞0，g'（）=﹣3＜0，∴g'（1）•g'（）＜0，∴g'（x）在（，1）内存在唯一的零点，则g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g'（x）的零点为t，则g'（t）=et﹣=0，即et=（＜t＜1），20\n由g'（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g'（x）＜g'（t）=0，当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞g'（t）=0，∴g（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+∞）上为增函数，∴当x＞0时，g（x）≥g（t）=et﹣lnt﹣2=﹣ln﹣2=+t﹣2≥2﹣2=0，又＜t＜1，等号不成立，∴g（x）＞0，∴当x＞0时，f（x）﹣ax+ex＞0．点评：本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求曲线上某一点处的切线方程，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，考查构造函数和分类讨论的数学思想方法，运用分析法证明不等式的重要方法，是一道综合题． 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