2022-2022学年山东省济宁一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科） 一.选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求．）1．已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（ ）A．2B．C．D．﹣2 2．若集合A={y|y=2x+1}，B={x|y=}则（∁RA）∩B（ ）A．[﹣3，1]B．（﹣∞，﹣3）C．[﹣3，﹣1）D．（﹣∞，0） 3．命题甲：若x，y∈R，则|x|＞1是x＞1是充分而不必要条件；命题乙：函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（ ）A．“甲或乙”为假B．“甲且乙”为真C．甲真乙假D．甲假乙真 4．已知正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（ ）A．B．C．D．不存在 5．若，是夹角为的单位向量，，则•=（ ）A．1B．﹣C．D．﹣1 6．函数y=的图象可能是（ ）A．B．C．D． 7．已知a=2log52，b=211，c=，则a、b、c的大小关系是（ ）A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a 18\n8．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（ ）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形 9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（ ）A．B．﹣2C．﹣2或D．不存在 10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞） 二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知向量= ． 12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5=0，则= ． 13．函数y=cos2（x+）的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为 ． 14．已知O为坐标原点，A（1，2），点B的坐标（x，y）满足约束条件，则z=•的最大值为 ． 15．给出如下四个命题：①若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角；②命题“若a＞b，则aa＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则aa≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；18\n④向量，共线的充要条件：存在实数λ，使得．其中正确的命题的序号是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知：函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，a为实常数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在[﹣，]上最大值为3，求a的值． 17．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S4=﹣62，S6=﹣75，求：（1）{an}的通项公式an及前n项的和Sn；（2）若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求Tn． 18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围． 19．已知等差数列{an}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14（I）求数列{an}的通项公式；（II）记数列bn=，数列{bn}的前n项和记为Sn，求Sn． 20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值． 21．设函数f（x）=lnx+ax2﹣2bx（Ⅰ）当a=﹣3，b=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣ax2+2bx+（≤x≤3），其图象上存在一点P（x0，y0），使此处切线的斜率k≤，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值． 18\n 2022-2022学年山东省济宁一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求．）1．已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（ ）A．2B．C．D．﹣2考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（1+ai）（2+i）=2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键． 2．若集合A={y|y=2x+1}，B={x|y=}则（∁RA）∩B（ ）A．[﹣3，1]B．（﹣∞，﹣3）C．[﹣3，﹣1）D．（﹣∞，0）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据指数函数的值域求出集合A，由补集的运算求出∁RA，求出﹣x2﹣x+6≥0的解集就是B，根据交集的运算求出（∁RA）∩B．解答：解：由y=2x+1＞1得，集合A={y|y＞1}=（1，+∞），所以∁RA=（﹣∞，1]，由﹣x2﹣x+6≥0得，x2+x﹣6≤0，解得﹣3≤x≤2，则B={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，所以（∁RA）∩B=[﹣3，1]，故选：A．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，一元二不等式的解法，以及指数函数的性质，属于基础题． 3．命题甲：若x，y∈R，则|x|＞1是x＞1是充分而不必要条件；命题乙：函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（ ）A．“甲或乙”为假B．“甲且乙”为真C．甲真乙假D．甲假乙真考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于命题甲：|x|＞1，解得x＞1或x＜﹣1．又由函数的定义域为x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），命题乙为真命题，据此判断即可．18\n解答：解：对于命题甲：|x|＞1，解得x＞1或x＜﹣1，则|x|＞1是x＞1是必要而不充分条件，命题甲为假命题；又对于命题乙：由函数的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2．故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），命题乙为真命题；则有“甲或乙”为真，A错误，“甲且乙”为假，B错误，甲假乙真，C错误，D正确，故选：D．点评：本题考查复合命题的真假，解题时要注意公式的灵活运用，熟练掌握复合命题真假的判断方法． 4．已知正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（ ）A．B．C．D．不存在考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：由正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项am，an，使得，知m+n=6，由此能求出的最小值．解答：解：∵正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，∴，即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，∵存在两项am，an，使得，∴，∴，∴，所以，m+n=6，∴=（）[（m+n）]=（5++）≥（5+2）=，所以，的最小值是．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了． 18\n5．若，是夹角为的单位向量，，则•=（ ）A．1B．﹣C．D．﹣1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出，的数量积，将所求用，的数量积以及模表示可求．解答：解：因为，是夹角为的单位向量，所以||=||=1，•=，所以•=（）（+）==1﹣2﹣=﹣；故选B．点评：本题考查了数量积的运算，关键是熟练掌握向量的数量积公式，属于基础题． 6．函数y=的图象可能是（ ）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．解答：解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力． 7．已知a=2log52，b=211，c=，则a、b、c的大小关系是（ ）A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．18\n专题：函数的性质及应用．分析：分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．解答：解：2log52＜1，1＜=20.8＜211，∴a＜c＜b．故选：B．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础． 8．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（ ）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形考点：余弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先设出三边来，根据面积相等和三条高的长度求得a，b和c的比，进而利用余弦定理求得cosA通过结果小于0判断出A为钝角．解答：解：设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知a=b=c，∴a：b：c=13：11：5令a=13，b=11，c=5由余弦定理得cosA=＜0，所以角A为钝角，故选D点评：本题主要考查了余弦定理的应用和三角形形状的判断．在判断三角形的形状时常可通过判断三个角的余弦值正负来判断三角形是否是钝角三角形． 9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（ ）A．B．﹣2C．﹣2或D．不存在考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），18\n当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=﹣=﹣．故选A．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x2+2ax+b，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题． 10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案．解答：解：∵当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，∴当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∵在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，令h（x）=loga（x+2），即f（x）=h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内有4个交点，在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，∴0＜loga（6+2）＜1，∴a＞8．故选D．18\n点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题． 二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知向量= ﹣3 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由已知中三个向量坐标，利用向量线性运算可得的坐标，进而根据两个向量垂直的数量积为0，构造关于k的方程，解方程可得k值．解答：解：∵，∴=（，3）∵∴k+3=0解得k=﹣3故答案为：﹣3点评：本题考查的知识点是数量积判断两个向量的垂直关系，其中熟练掌握两个向量垂直向量积为0是关键． 12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5=0，则= 5 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题．18\n分析：利用等比数列的通项公式将已知等式8a2﹣a5=0用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n项和定义及通项公式表示，将公比的值代入其中求出值．解答：解：∵8a2﹣a5=0，∴，q=2，==1+q2=5故答案为：5．点评：解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，一般利用通项及前n项和公式得到关于基本量的方程，利用基本量法来解决．在等比数列有关于和的问题，依据和的定义，能避免对公比是否为1进行讨论． 13．函数y=cos2（x+）的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为 ．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先通过三角恒等变换变形呈正弦型函数，进一步利用f（﹣x）=f（x）求出a的最小值．解答：解：函数y=cos2（x+）==函数的图象沿沿x轴向右平移a个单位（a＞0），则：得到：f（x）=，当amin=时，所得图象关于y轴对称．即f（﹣x）=f（x），故答案为：点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变形，函数图象的平移变换，关于图象的对称问题．属于基础题型． 14．已知O为坐标原点，A（1，2），点B的坐标（x，y）满足约束条件，则z=•的最大值为 2 ．18\n考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据向量数量积的公式，利用数形结合即可得到结论．解答：解：z=•=x+2y，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A（1，0）时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=0+2×1=2，故答案为：2点评：本题主要考查线性规划的应用，以及向量的数量积运算，利用数形结合是解决本题的关键． 15．给出如下四个命题：①若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角；②命题“若a＞b，则aa＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则aa≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④向量，共线的充要条件：存在实数λ，使得．其中正确的命题的序号是 ② ．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：与的夹角为180°时•＜0，①不正确；直接写出命题的否命题判断②；写出全程命题的否定判断③；举而说明④错误．解答：解：①若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角错误，如与的夹角为180°时•＜0；18\n②命题“若a＞b，则aa＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则aa≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，③错误；④向量，共线的充要条件：存在实数λ，使得错误，原因是而时不存在实数λ使得成立．故答案为：②点评：本题考查了命题的真假判定与应用，考查了命题的否命题和命题的否定，是基础题． 三.解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知：函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，a为实常数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）f（x）在[﹣，]上最大值为3，求a的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式及辅角公式化为=（1）最小正周期易求．（2）将视为整体，求出范围．再利用三角函数的性质得出最大值的表达式，解此关于a的方程即可．解答：解：=（1）最小正周期T=π（2）由可得∴则f（x）max=2×1+1+a=3∴a=0点评：本题考查二倍角公式及辅角公式的应用，三角函数的图象与性质，属于常规知识和能力． 17．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S4=﹣62，S6=﹣75，求：（1）{an}的通项公式an及前n项的和Sn；（2）若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求Tn．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．18\n分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）由an=3n﹣23≤0，解得n，因此n≤7．当n≥8时，a8＞0．当n≤7时，Tn=﹣（a1+a2+…an），当n≥8时，Tn=﹣（a1+a2+…a7）+（a8+…an）=Sn﹣2S7，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设{an}的公差为d，∵S4=﹣62，S6=﹣75，∴，解得，∴an=a1+（n﹣1）d=﹣20+3（n﹣1）=3n﹣23．∴Sn===．（2）由an=3n﹣23≤0，解得n，因此n≤7．当n≥8时，a8＞0，当n≤7时，Tn=﹣（a1+a2+…an）=，当n≥8时，Tn=﹣（a1+a2+…a7）+（a8+…an）=Sn﹣2S7=，∴Tn=．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值符号的数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=，进而求出∠A．18\n（2）首先利用正弦定理化边为角，可得l=1+，然后利用诱导公式将sinC转化为sin（A+B），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（B+），从而转化成三角函数求值域问题求解；或者利用余弦定理结合均值不等式求解．解答：解：（1）∵acosC+c=b，由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，即sinAcosC+sinC=sinB，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴，又∵0＜A＜π，∴．（2）由正弦定理得：b==，c=，∴l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=1+（sinB+sin（A+B））=1+2（sinB+cosB）=1+2sin（B+），∵A=，∴B，∴B+，∴，故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．（2）另解：周长l=a+b+c=1+b+c，由（1）及余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2=bc+1，∴（b+c）2=1+3bc≤1+3（）2，解得b+c≤2，又∵b+c＞a=1，∴l=a+b+c＞2，18\n即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力． 19．已知等差数列{an}中，公差d＞0，又a2•a3=45，a1+a4=14（I）求数列{an}的通项公式；（II）记数列bn=，数列{bn}的前n项和记为Sn，求Sn．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）等差数列{an}中，由公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．（II）由an=4n﹣3，知bn==（﹣），由此利用裂项求和法能求出数列{bn}的前n项和．解答：解：（I）∵等差数列{an}中，公差d＞0，a2•a3=45，a1+a4=14，∴，解得，或（舍），∴an=a1+（n﹣1）d=1+4（n﹣1）=4n﹣3．（II）∵an=4n﹣3，∴bn===（﹣），∴数列{bn}的前n项和：Sn=b1+b2+b3+…+bn=+++…+==．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用． 20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．18\n（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：应用题．分析：（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．解答：解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一． 21．设函数f（x）=lnx+ax2﹣2bx（Ⅰ）当a=﹣3，b=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣ax2+2bx+（≤x≤3），其图象上存在一点P（x0，y0），使此处切线的斜率k≤，求实数a的取值范围；18\n（Ⅲ）当a=0，b=﹣，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导数，确定函数的单调性，再求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈[，3]，则有k=F′（x0）=≤在x0∈[，3]上有解，可得a≥（﹣+x0）min，x0∈[，3]，求出﹣+x0的最小值，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）a=0，b=﹣时，f（x）﹣lnx+x，2mf（x）=x2有唯一实数解，即2mf（x）=x2有唯一实数解，分类讨论可得正数m的值．解答：解：（Ⅰ）依题意，f（x）的定义域为（0，+∞），当a=﹣3，b=1时，f（x）=lnx﹣﹣2x，f′（x）=由f′（x）＞0，得3x2+2x﹣1＜0，解得﹣1＜x＜；由f′（x）＜0，得3x2+2x﹣1＞0，解得x＞或x＜﹣1∵x＞0，∴f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减；∴f（x）的极大值为f（）=﹣ln3﹣，此即为最大值…（4分）（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈[，3]，则有k=F′（x0）=≤在x0∈[，3]上有解，∴a≥（﹣+x0）min，x0∈[，3]，∵﹣+x0=﹣+，∴当x0=3时，﹣+x0取得最小值﹣，∴a≥﹣…（8分）（Ⅲ）a=0，b=﹣时，f（x）=lnx+x，2mf（x）=x2有唯一实数解，即2mf（x）=x2有唯一实数解，…（9分）当lnx+x=0时，显然不成立，设lnx+x=0的根为18\n当lnx+x≠0时，2m=有唯一解，此时x＞x0记h（x）=h′（x）=，…（10分）当x∈（0，1）时，x（x﹣1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0当x∈（1，+∞）时，x（x﹣1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，∴h（x）在（x0，1）上递减，（1，+∞）上递增．∴h（x）min=h（1）=1（12分）当x∈（x0，1）时，h（x）∈（1，+∞），当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（1，+∞），…（13分）要使2m=有唯一解，应有2m=h（1）=1，∴m=…（14分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 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