山东省济南外国语学校三箭分校高一数学上学期期中试卷含解析

2022-2022学年山东省济南外国语学校三箭分校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个正确选项，每题5分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为()A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}2．函数f（x）=，则f（﹣2）等于()A．1B．2C．3D．43．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）的值是()A．﹣4B．C．D．44．在区间（0，+∞）上不是增函数的是()A．y=3x﹣2B．y=3x2﹣1C．y=2x2+3xD．y=﹣15．二次函数y=ax2+bx+c中，a•c＜0，则函数的零点个数是()A．1B．2C．0D．无法确定6．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c7．已知函数y=的定义域为()A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1]D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]8．已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，则它的图象是()A．B．C．D．-12-\n9．如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是()A．a＞2B．0＜a＜1C．2＜a＜3D．a＞310．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＜0的解集是()A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}二、填空题（本小题共4个小题，每题5分）11．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=__________．12．已知函数，且此函数图象过点（1，5），则实数m的值为__________．13．函数f（x）=x（ax+1）在R上是奇函数，则a=__________．14．已知函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是__________．三、解答题（本小题共5个小题，请写出详细的解答过程）15．已知{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，求实数m的值．16．计算（1）（2）log25625+lg+lne．17．已知函数f（x）=（ax+a﹣x），（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）的图象过点（2，），求f（x）．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．19．已知函数f（x）=．-12-\n（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．-12-\n2022-2022学年山东省济南外国语学校三箭分校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个正确选项，每题5分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为()A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由题意求出A的补集，然后求出（∁UA）∪B．【解答】解：因为全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则∁UA={0，4}，（∁UA）∪B={0，2，4}．故选C．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．2．函数f（x）=，则f（﹣2）等于()A．1B．2C．3D．4【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）（﹣2+1）=2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．3．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）的值是()A．﹣4B．C．D．4【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先根据函数f（x）是R上的奇函数将f（﹣2）转化成求f（2）的值，代入当x＞0时f（x）的解析式中即可求出所求．【解答】解：函数f（x）是R上的奇函数则f（﹣x）=﹣f（x）∴f（﹣2）=﹣f（2）∵当x＞0时，f（x）=2x，∴f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解，属于基础题．4．在区间（0，+∞）上不是增函数的是()-12-\nA．y=3x﹣2B．y=3x2﹣1C．y=2x2+3xD．y=﹣1【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】判断函数在区间（0，+∞）上是不是增函数，即可得到结果．【解答】解：y=3x﹣2在区间（0，+∞）上是增函数，y=3x2﹣1对称轴是x=0，在区间（0，+∞）上是增函数，y=2x2+3x对称轴为：x=﹣，在区间（0，+∞）上是增函数，y=﹣1，在区间（0，+∞）上是减函数．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，是基础题．5．二次函数y=ax2+bx+c中，a•c＜0，则函数的零点个数是()A．1B．2C．0D．无法确定【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】有a•c＜0，可得对应方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．【解答】解：∵ac＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，∴对应方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，故所求二次函数与x轴有两个交点．故选B【点评】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．6．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．【分析】易知a＜00＜b＜1c＞1故a＜b＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选A．【点评】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．7．已知函数y=的定义域为()-12-\nA．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1]D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x≤1且x．∴函数y=的定义域为（﹣∞，﹣）∩（﹣，1]．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．8．已知函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，则它的图象是()A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先依据条件判断a＞0，且c＜0，联系二次函数的图象特征，开口方向、及与y轴的交点的位置，选出答案．【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，得a＞0，且c＜0，∴f（0）=c＜0，∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，故选D．【点评】本题考查二次函数的图象特征，由二次函数的二次项的系数符号确定开口方向，由c值确定图象与y轴的交点的位置．9．如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是()A．a＞2B．0＜a＜1C．2＜a＜3D．a＞3【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】利用底数大于0小于1时指数函数为减函数，直接求a的取值范围．【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数∴0＜a﹣2＜1⇒2＜a＜3故答案为：（2，3）．故选C．【点评】本题考查指数函数的单调性．指数函数的单调性与底数的取值有关，当底数大于1时指数函数为增函数，当底数大于0小于1时指数函数为减函数．-12-\n10．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＜0的解集是()A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；分类讨论；转化思想．【分析】由x•f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式x•f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．【解答】解；∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，且在（0，+∞）内是增函数，∴f（3）=0，且在（﹣∞，0）内是增函数，∵x•f（x）＜0∴1°当x＞0时，f（x）＜0=f（3）∴0＜x＜32°当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣3）∴﹣3＜x＜0．3°当x=0时，不等式的解集为∅．综上，x•f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜3或﹣3＜x＜0}．故选D．【点评】考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．二、填空题（本小题共4个小题，每题5分）11．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】【方法一】利用换元法求出f（x）的解析式，再计算f（3）的值．【方法二】根据题意，令2x+1=3，求出x=1，再计算f（3）的值．【解答】解：【方法一】∵f（2x+1）=x2﹣2x，设2x+1=t，则x=，∴f（t）=﹣2×=t2﹣t+，∴f（3）=×32﹣×3+=﹣1．【方法二】∵f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=3，解得x=1，∴f（3）=12﹣2×1=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了求函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．12．已知函数，且此函数图象过点（1，5），则实数m的值为4．-12-\n【考点】函数的零点；函数的图象．【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】直接将图象所过的点（1，5）代入函数式即可求得m=4．【解答】解：因为函数的图象过点（1，5），所以f（1）=5，即1+m=5，解得m=4，f（x）=x+，故填：4．【点评】本题主要考查了函数的图象与性质，直接将图象所过的点代入函数式即可解决问题，属于基础题．13．函数f（x）=x（ax+1）在R上是奇函数，则a=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数f（﹣x）=﹣f（x）即可求得a．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数；∴f（﹣x）=﹣x（﹣ax+1）=ax2﹣x=﹣x（ax+1）=﹣ax2﹣x；∴a=0．故答案为：0．【点评】考查奇函数的定义，及对定义的运用．14．已知函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是（0，1）．【考点】指数函数的图像变换．【专题】计算题；作图题．【分析】画出函数f（x）=|2x﹣1|的图象，根据图象即可得到函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点时，a的取值范围．【解答】解：f（x）=|2x﹣1|的图象如下图所示：由图可知：当0＜a＜1时，函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据指数函数的图象及函数图象的变换法则，得到函数f（x）=|2x﹣1|的图象，数形结合即可得到答案．-12-\n三、解答题（本小题共5个小题，请写出详细的解答过程）15．已知{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，求实数m的值．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】根据两集合的交集确定出m的值即可．【解答】解：∵{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，∴m2﹣3m﹣1=﹣3，解得：m=1或m=2，当m=2时，交集为{﹣3，4}，不合题意，舍去，则实数m的值为1．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．计算（1）（2）log25625+lg+lne．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理数指数的性质、运算法则求解．（2）利用对数的性质、运算法则求解．【解答】解：（1）=1+×﹣0.1=．（2）log25625+lg+lne=2﹣2+1=1．【点评】本题考查指数式、对数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数的性质、运算法则的合理运用．17．已知函数f（x）=（ax+a﹣x），（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）的图象过点（2，），求f（x）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的零点．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．-12-\n【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数过点，代入进行求解即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=（a﹣x+ax）=（ax+a﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数；（2）若函数f（x）的图象过点（2，），则f（2）=（a2+a﹣2）=，即a2+a﹣2=，即a4﹣a2+1=0即9a4﹣82a2+9=0，解得a2=9或a2=∵a＞0且a≠1，∴a=3或a=．即f（x）=（3x+3﹣x）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数解析式的求法，考查学生的计算能力，建立方程关系是解决本题的关键．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．（2）对函数进行配方，结合二次函数在[﹣1，1]上的单调性可分别求解函数的最值．【解答】解：（1）由f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b∴由题意得恒成立，∴，得，∴f（x）=x2﹣x+1；（2）f（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+在[﹣1，]单调递减，在[，1]单调递增-12-\n∴f（x）min=f（）=，f（x）max=f（﹣1）=3．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．19．已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）===﹣=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（2）f（x）===1﹣，则f（x）在R上的单调性递增，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=（﹣）=，∵x1＜x2，∴＜，∴﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数为增函数．（3）若存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立，则f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x）．即x2﹣t2≥t﹣x．-12-\n即x2+x≥t2+t恒成立，设y=x2+x=（x+）2﹣，∵x∈[1，2]，∴y∈[2，6]，即t2+t≤2，即t2+t﹣2≤0．解得﹣2≤t≤1，即存在实数t，当﹣2≤t≤1时使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键．-12-