高三年级考试数学试题（文科）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.2022.1【题文】一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.若，则等于A.B.C.D.【知识点】集合的并集与补集A1【答案】【解析】B解析：由并集定义可得，由补集定义可得.故选B.【思路点拨】由并集以及补集定义可以求得.【题文】2.已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件A2【答案】【解析】A解析：因为由，可得，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.【思路点拨】找到不等式的解集为，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.【题文】3.正项等比数列的公比为2，若，则的值是A.8B.16C.32D.64【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】C解析：因为且等比数列各项为正，由等比中项可得，而可得.故选C16\n【思路点拨】由等比中项可得，再由等比数列公式可得.【题文】4.已知命题：命题.则下列判断正确的是A.p是假命题B.q是真命题[]C.是真命题D.是真命题【知识点】复合命题的真假A3【答案】【解析】C解析：命题由基本不等式可得为真命题，而命题的解为，所以为假命题，由复合命题的真值表可得C正确.故选C.【思路点拨】由基本不等式可得命题p为真命题，解可得命题q为假命题，再结合复合命题的真值表可得.【题文】5.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A.B.C.D.【知识点】空间中的直线与平面的位置关系G4G5【答案】【解析】D解析：A.因为，所以不正确；B.不能确定关系，所以不正确；C.若两平面相交且都平行于交线，也可以满足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的所有的面都与此面垂直，所以正确.故选D.【思路点拨】A.中直线还可以在平面内；B.中的关系不能确定；C.若两平面相交且都平行于交线，也可以满足；D.由线面垂直的性质定理可得正确.【题文】6.若变量满足条件，则的最小值为A.B.0C.D.【知识点】线性规划E516\n【答案】【解析】A解析：根据线性条件画出可行域如图：令可得由图像可知当过点时，目标函数有最小值为.故选A.【思路点拨】由线性条件画出可行域，目标函数为是一组平行线，可得当过B点时为最小值.【题文】7.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A.B.C.D.【知识点】函数的奇偶性单调性B3B4【答案】【解析】B解析：因为函数当时，，当时，，所以函数为偶函数，排除A,C，且在上单调减，排除D.故选B.16\n【思路点拨】由函数的奇偶性可得为偶函数，由函数的性质可得在上单调减，逐一检验即可.【题文】8.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则A.上单调递减B.上单调递减C.上单调递增D.上单调递增【知识点】三角函数的图象与性质C4【答案】【解析】A解析：由题意可得：因为最小正周期为，所以可得，即，其图象向左平移个单位得函数，由余弦函数图像的性质可得上单调递减.故选A【思路点拨】由辅助角公式可得，由最小正周期为，可得，由图像的平移变换可得，再由余弦函数图像的性质可得结果.【题文】9.设函数的零点为的零点为，若可以是A.B.C.D.【知识点】函数的零点B916\n【答案】【解析】D解析：因为且函数为增函数，所以零点在区间内，又因为，所以可得函数的零点在区间内，只有D的零点满足.故选D.【思路点拨】根据零点存在性定理可得零点在区间内，由可得函数的零点在区间内，逐一检验即可.【题文】10.设函数若，则实数t的取值范围是A.B.C.D.【知识点】分段函数B1【答案】【解析】A解析：设，当时，，解得，当时符合，所以，因此，当时，解得，当时，解得，综合上可得..故选A.【思路点拨】利用符合函数以及分段函数的数学思想进行分论讨论，即可得到.【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.[]【题文】11.已知向量共线，则t=▲.【知识点】向量共线的坐标表示F2【答案】【解析】解析：由已知可得，由两向量共线的充要条件可得，解得.故答案为【思路点拨】两向量共线的充要条件：可求得.【题文】12.设为锐角，若▲.【知识点】三角变换C716\n【答案】【解析】解析：因为为锐角，所以可得，所以有，而.故答案为.【思路点拨】通过凑角由，然后利用两角差的正弦展开式求得.【题文】13.计算：▲.【知识点】指数与对数B6B7【答案】【解析】1解析：.故答案为1【思路点拨】先将根式化为分式指数幂的形式，再由指数运算性质化简，即可得到.【题文】14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为▲.【知识点】椭圆方程直线与圆的切线H5H4【答案】【解析】.解析：设切点坐标为则即∵∴，即AB的直线方程为，∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴解得，所以，所以椭圆方程为.故答案为.【思路点拨】16\n设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a，求出椭圆方程．【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是▲.【知识点】三视图正方体的体积G2【答案】【解析】32解析：如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，.故答案为32.【思路点拨】由图像的直观图可得，截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半.【题文】三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）【题文】16.（本小题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且（I）求角C的大小；（II）若的面积，求的值.【知识点】解三角形C8【答案】（I）；（II）.【解析】解析：（I）由可得：16\n即：即：整理可得：即：又；（II）由题意可得：有余弦定理可得：由正弦定理得：【思路点拨】由正弦定理可得，再由化简即可得到；由面积公式可得，有余弦定理可得，由正弦定理可得的值.【题文】17.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，AC=BC，D为AB的中点，且16\n（I）；（II）证明：平面【知识点】线线垂直线面平行G4G5【答案】（I）略；（II）略.【解析】解析：（I）如图：因为三棱柱为直三棱柱所以平面所以又，D为AB的中点所以又所以平面，又平面16\n所以又，所以平面又平面所以（II）连接交于点F，连接因为四边形为平行四边形所以F为中点，又D为AB的中点所以在中，又平面所以平面【思路点拨】通过证明，，，证明平面，进而得到；连接交于点F，连接，在中，所以可得平面.【题文】18.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，满足：（I）求；（II）数列满足，数列的前项和为，求证.【知识点】等差数列的性质前n项和数列求和D2D4【答案】（I）；；（II）.【解析】解析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得：，16\n（II）由题意可得：【思路点拨】由题意可求得与的值，即可求出通项公式以及前n项和；求得所以采用裂项相消求和可得.【题文】19.（本小题满分12分）某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件，（I）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？（II）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用。试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？【知识点】函数的应用基本不等式E6【答案】（I）5；（II）.【解析】解析：（I）设商品的销售价格提高a元则解得：所以商品的销售价格最多提高5元；（II）由题意可得，技术革新后的该商品销售收入为万元，若改革后的销售收入不低于原销售收入与总投入和，只需满足：即可16\n即：当且仅当，即时，取得“=”号答：商品销售量至少应达到万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和.【思路点拨】设商品的销售价格提高a元，由题意列的解不等式即可得到；由题意可得：要满足题意只需满足即可，即利用基本不等式求得其最大值.【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足O为坐标原点.（I）求椭圆的方程;（II）证明：的面积为定值.【知识点】椭圆方程直线与圆锥曲线H5H8【答案】（I）；（II）.【解析】解析：（I）由椭圆的离心率为，可得：又所以椭圆方程为：；（II）设直线AB的方程为，设16\n联立可得：又，设原点到直线AB的距离为d，则因为当直线斜率不存在时，由即的面积为定值.【思路点拨】由离心率为，可得：，由椭圆的定义可得16\n，即可求得；只需与椭圆方程联立可得，由可得即，再由直线可得，列的等式解得，再由面积公式列的等式，即可得.【题文】21.（本小题满分14分）设函数.（I）当时，求的极值；（II）设A、B是曲线上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行，直线AB的斜率为，是否存在，使得若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【知识点】导数的应用B12【答案】（I）（II）故不存在这样的m使得.【解析】解析：（I）函数的定义域为（I）当时，令解得：或所以，当x变化时，变化情况如下表：16\n由上表可知：（II）设令由题意可得，所以所以为方程的两个根故，且即若存在实数m使得则所以即：，又令16\n所以在上单调递减，所以即：与矛盾故不存在这样的m使得【思路点拨】对函数求导，令导函数为零，解得零点，由左右单调性判断是否为极值，即可求得极值；令由题意可得为方程的两个根，若存在实数m使得则所以即：，又令，可证得，故不存在这样的m使得16
