高三数学月考试题(理科)2022.12.19一、选择题1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.2.已知命题，，命题，.则下列命题中为真命题的是（ ）A.B.C.D.3.已知，，，为同一平面内的四个点，若，则向量等于（ ）A.B.C.D.4.已知定义在上的函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）A.B.C.D.5.已知，，分别是中角，，的对边，若，，，则（ ）A.B.C.或D.6.已知，，，，则（ ）A.B.C.D.7.已知函数，则下列说法正确的是（ ）-12-\nA.若，则B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.的图象向右平移个单位长度后得的图象8.如图所示，积木拼盘由、、、、五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是（ ）A.780B.840C.900D.9609.已知点是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若点是的平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.10.定义区间的长度为，已知函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（ ）A.B.C.1D.3二、填空题11.已知，则二项式的展开式中常数项为.-12-\n12.已知变量满足约束条件，则的取值范围为.13.若函数与有相同的最小值，则不等式的解集为.14.设，，若，则的最大值为.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点，若都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：①如果与都是无理数，则直线一定是遗憾直线；②“直线是完美直线”的充要条件是“与都是有理数”；③存在恰有一个完美点的完美直线；④过原点的完美直线经过无穷多个完美点，当且仅当直线经过两个不同的完美点.其中正确的命题是.（写出所有正确命题的编号）三、解答题16.（本小题满分12分）已知向量，，函数.（1）求函数在上的最值；（2）若，，分别为的内角，，的对边，其中为锐角，，，且，求的面积.17.（本小题满分12分）-12-\n将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中（每个盒子足够大）.（1）求编号为1的盒子为空盒的概率；（2）求空盒的个数的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）已知数列中，，其前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.已知函数，其中.（1）若，求函数的极值；（2）当时，试确定函数的单调区间.20.（本小题满分13分）已知函数（其中），，且与在处有相同的切线.（1）求函数的解析式，并讨论在上的最小值；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.-12-\n21.（本小题满分14分）设动圆与圆外切，且与直线相切.（1）求动圆的圆心的轨迹方程；（2）若曲线与的轨迹关于直线对称，求两曲线围成的封闭图形的面积；（3）在（2）的条件下，过点任作一直线交曲线于、两点，是否存在一直线，使得曲线在、两点处的切线的交点总在此直线上？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由.-12-\n高三数学月考试题答案一、选择题1～5 ADCDC6～10 CCDAD二、填空题11.4012.13.14.15.③④三、解答题16.解析：（1） .（2分）当时，，（3分）结合正弦函数的图象知，当，即时，函数取得最小值，且最小值为；当，即时，函数取得最大值，且最大值为1.（5分）所以函数在上的最大值为1，最小值为.（6分）（2）由（1）知.因为，，所以，.（8分）由，得，-12-\n即，解得.（10分）故.（12分）17.解析：（1）将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，由分步剩法计数原理知共有种放法，设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有种放法，故所求概率为.（2）空盒的个数的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，（或），所以的分布列为0123的数学期望为.18.解析：（1）因为①，所以 ②，②－①得，，所以，所以.-12-\n（2）由（1）知，所以 ，设，则，两式相减得，整理得，所以.19.解析：（1）函数的定义域为..令，得，当变化时，和的变化情况如下：0－－0＋↘↘↗故的单调减区间为，；单调增区间为.-12-\n所以当时，函数有极小值.（2）因为，所以，所以函数的定义域为，求导，得 令，得，，当时，，当变化时，和的变化情况如下：0＋0－0＋↗↘↗故函数的单调减区间为，单调增区间为，.当时，，因为（当且仅当时，），所以函数在上单调递增.当时，，当变化时，和的变化情况如下：0-12-\n＋0－0＋↗↘↗故函数的单调减区间为，单调增区间为，.综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为，；当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为，.20.解析：（1），.∵两函数在处有相同的切线，又，，∴，，∴，.∴，.（2分），由得，由得，∴在上单调递增，在上单调递减.（4分）①当，即时，在上单调递减，∴；（5分）②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴；（6分）③当时，在上单调递增，∴.（7分）-12-\n∴.（8分）（2）若对任意的，恒成立，即（*）对任意的恒成立.（i）当时，上式化为，显然对任意的实数恒成立.（9分）（ii）当时，（*）式化为，对任意的恒成立.令，则，∴当时，，∴在上单调递增，此时，∴.（11分）（iii）当时，（*）式化为，对任意的恒成立.由（ii）知在上单调递增，在上单调递减，此时，∴.（12分）综上，实数的取值范围为.（13分）21.解析：（1）由题意知，动圆的圆心到定点和定直线的距离相等，所以动圆的圆心的轨迹方程为.（4分）（2）由题意知，曲线的方程为，两曲线的交点为，，所以两曲线围成的封闭图形的面积.（7分）（3）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则曲线在、两点处的切线的方程分别为-12-\n ①， ② （9分）由得，由根与系数的关系得，.（10分）②－①得，所以.②＋①得，所以，（13分）将代入，可得，所以存在直线，使得曲线在、两点处的切线的交点总在此直线上.（14分）-12-
