曲阜市2022届高三上学期期中考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是()2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变B．向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变3.已知函数是定义在区间上的奇函数，若，则的最大值与最小值之和为（）A．0B．2C．4D．不能确定4．给出下列四个命题：：公差为的等差数列是等比数列.：公比为的等比数列一定是递减数列.：三数成等比数列的充要条件是.：三数成等差数列的充要条件是.以上四个命题中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知，，则的值为（）A．B．C．D．9\n6.中，角的对边分别为,设的面积为，，则角等于（）A．B．C．D．7.已知函数的最小正周期为，则的图象（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于点对称8.设函数，在上可导，且，则当时，有（）A．B．C．D．9.设函数()的导函数，则数列()的前项和是（）A．B．C．D．10.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意∈，都有成立，则称和是上的“密切函数”，区间称为和的“密切区间”.若,在上是“密切函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（选择题共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．=．12．已知在等差数列中，为方程的两根，则的值为．9\n13．已知正实数满足，则的值等于．14．已知命题与是同一函数；已知是函数的一个零点，若，则.则在以下命题：①；②；③；④中，真命题是（写出所有正确命题的序号）．15．已知函数，且有两个极值点，满足，.设点在平面直角坐标系中表示的平面区域为.若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本题满分12分）在中，角的对边分别为,且组成一个公差的等差数列，若，试求的三边的长.17．（本题满分12分）在等差数列中，首项，数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ），求数列的前项的和.18．（本题满分12分）某工厂在2022年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是1万元,此外每年还都要花费一定的维护费.已知第一年的维护费是2万元,9\n由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该工厂使用该设备()年的总费用为(万元).（Ⅰ）将表示成的函数（总费用=购入费用+运转费用+维护费用）；（Ⅱ）求该设备的最佳使用年限（即使用该设备年平均费用最低的年限）.19．（本题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；(Ⅱ)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．（本题满分13分）已知数列各项均为正数，且满足,（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若点（）是曲线上的列点，且点在轴上的射影为（），设四边形的面积是,求证：时，.21．（本题满分14分）设．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若是函数的极大值点，求的取值范围；（Ⅲ）当时，在上是否存在一点，使成立？说明理由．9\n数学（理科）参考答案一．1-5BCCAC，6-10BDDAD二．11．；12．；13．；14．①③；15．三．16．解：依题意，a,b,c组成一个公差的等差数列,即a=b+1，c=b－1()由正弦定理，=及A=2C，得，∴,即.①由余弦定理，得.②由①②两式联立，消去cosC得,解之得.所以.17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由得，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得.9\n18．解：（Ⅰ）该工厂使用该设备年的运转费用是万元,且每年的维护费是首项为2，公差也是2的等差数列.所以该工厂使用该设备的总费用为:()（Ⅱ）使用该设备年平均费用.,则..从而，当;当.所以，当有最小值.即该设备使用年限是年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是年.另法：使用该设备年平均费用≥(万元)当且仅当，即时取等号.即该设备使用年限是10年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是10年.19.解：（Ⅰ）.当，即,时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为．（Ⅱ）对任意，要使不等式恒成立,只需在上的最小值大于在区间上的最大值.当时，有,∴当即时，有最大值1,有最大值3.所以当时，的最大值为.9\n又由得，当时，.∴在区间上是减函数，当时，有最小值.所以的最小值为.令得,所以实数的取值范围是.20．解：（Ⅰ）由得.∵，,∴，故是首项为2，公比为2的等比数列,.∴.（Ⅱ）∵，∴，又∵,∴四边形的面积为：.当时，.当时，,∴.所以有时，.21.解：（Ⅰ）当时，,,所以曲线在点处的切线的斜率为.所求切线方程为,即.（Ⅱ）,令得，，,①当即时，随的变化情况如下表：9\n递减极小值递增由表知是函数的极小值点，不合题意；②当即时，随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由表知是函数的极小值点，不合题意；③当即时，随的变化情况如下表：递增非极值递增由表知不是函数的极值点，不合题意；④当即时，随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由表知是函数的极大值点，适合题意；9\n综上所述，当时，是函数的极大值点．即所求取值范围是.（Ⅲ）假设当时，在存在一点，使成立，则只需证明时,即可．由（Ⅱ）知，当时，函数在上递减，在上递增，．所以只需证明或即可。∵由知，∴即成立所以假设正确，即当时，在上至少存在一点，使成立．9
