新泰一中高三上学期第二次质量检测数学（理）试题第I卷（选择题）一、选择题1．已知，，则（）A．B．C．D．2．等差数列{an}中，a5、a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则a3+a9等于（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．在△ABC中，若,,,则B等于()A．B．或C．D．或4．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则6．若满足约束条件，则的最大值为（）A．16B．20C．24D．287．已知三角形ABC的面积是，角A,B,C成等差数列，其对应边分别是，则的最小值是（）A．12B．C．10D．8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )13A．24－B．24－C．24－πD．24－9．若圆与轴相切于点,与轴的正半轴交于两点，且，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．10.已知函数，则的图像大致为（）11．是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．12.在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若13，则的最大值为（）A.B.C.D.第II卷（非选择题）二、填空题13．若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。等于__________14．若向量,是椭圆上的动点，则的最小值为_________．15．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为____________16．下列命题中:(1)若点在圆外，则的取值范围是；(2)若曲线表示双曲线，则的取值范围是；(3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．(4)已知双曲线方程为，则过点可以作一条直线与双曲线交于两点，使点是线段的中点.正确的是____________(填序号)三、解答题17．（本小题满分10分）已知命题恒成立；命题方程表示双曲线.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，且13．（1）求角；（2）若，求的取值范围．19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立．（1）记，求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20.（本小题满分12分）如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面⊥平面，，分别为棱的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．21.（本小题满分12分）已知．（1）若在上单调，求实数的取值范围；（2）证明：当时，在上恒成立．22.（本小题满分12分）已知点是椭圆的左右顶点，点是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为，直线，的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点的直线与椭圆交于两点，使得以为直径的圆经过点？13若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.参考答案1．C2．D3．D4．A5．C6．C7．A8．A9．C10．A11．D12．A13．-7/814．15．16．(2)17.解：（1），∵，∴，故命题为真命题时，．（2）若命题为真命题，则，所以，因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.当命题为真命题，命题为假命题时，，则，或；当命题为假命题，命题为真命题时，，舍去．综上，，或.又，所以，因为，所以，所以，所以13，即的取值范围是19.解：（1）在中令得因为对任意正整数，都有成立，所以，两式相减得，所以，又，所以数列为等比数列，所以，所以．．．．．5分（2），所以．20.证明：（Ⅰ）取中点，连接，，因为是正方形，所以，.因为分别是,中点，所以,.又因为且，所以，，所以四边形是平行四边形,所以.又因为平面，平面所以平面．（Ⅱ）因为平面⊥平面，平面平面，，平面所以平面．如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．13设，则．因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.设平面PFB的一个法向量为，,则即令x=1，得，所以．由已知，二面角的余弦值为，所以得，解得a=2,所以．因为是四棱锥的高，所以其体积为．21.解：（1）若在上单调递增，则当，恒成立，当时，，此时；若在上单调递减，同理可得．所以的取值范围是（2）时，13当时，在上单调递增，在上单调递减，∴存在，使得在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减故在上，，所以在上恒成立22.解：（1）由题意可知，，，有，即，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）存在；以为直径的圆经过点可得，，若直线的斜率为，则为点，此时，此时不垂直，不满足题意，可设直线的方程为：，联立，消可得，，则有.①设，由题意可知，因为，则，即，整理可得：，②将①代入②可得：，整理得，解得或者，所以直线的方程为：或.1313新泰一中2022级高三上学期第二次质量检测数学（理）参考答案1．C2．D3．D4．A5．C6．C7．A8．A9．C10．A11．B12．B13．-7/814．15．16．(2)17.解：（1），∵，∴，故命题为真命题时，．（2）若命题为真命题，则，所以，因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题.当命题为真命题，命题为假命题时，，则，或；当命题为假命题，命题为真命题时，，舍去．综上，，或.又，所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是1319.解：（1）在中令得因为对任意正整数，都有成立，所以，两式相减得，所以，又，所以数列为等比数列，所以，所以（2），所以．20.证明：（Ⅰ）取中点，连接，，因为是正方形，所以，.因为分别是,中点，所以,.又因为且，所以，，所以四边形是平行四边形,所以.又因为平面，平面所以平面．（Ⅱ）因为平面⊥平面，平面平面，，平面所以平面．如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．设，则．因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.设平面PFB的一个法向量为，,则即令x=1，得，所以．13由已知，二面角的余弦值为，所以得，解得a=2,所以．因为是四棱锥的高，所以其体积为．21.解：（1）若在上单调递增，则当，恒成立，当时，，此时；若在上单调递减，同理可得．所以的取值范围是（2）时，当时，在上单调递增，在上单调递减，∴存在，使得在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减故在上，，所以在上恒成立22.解：（1）由题意可知，，，13有，即，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）存在；以为直径的圆经过点可得，，若直线的斜率为，则为点，此时，此时不垂直，不满足题意，可设直线的方程为：，联立，消可得，，则有.①设，由题意可知，因为，则，即，整理可得：，②将①代入②可得：，整理得，解得或者，所以直线的方程为：或.13
