高二数学期中考试试题2022/11第I卷（选择题）一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）1.平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B．（1，0）C．D．3.过抛物线的焦点作直线交抛物线与两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（）A．10B．8C．6D．44.已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ） A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）5.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为()A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x6.已知抛物线方程为，点的坐标为为抛物线上动点，则点P到准线的距离和到点Q的距离之和的最小值为（）A．3B．C．D．7.已知、为双曲线：的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限.若，则内切圆半径为（）A．1B．C．D．28.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线13\n﹣=1，则的值为（ ） A．B．C．D．9.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（）A．B．3C．D．10.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.第II卷（非选择题）二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11.命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是 ．12.是锐二面角的内一点,于点到的距离为，则二面角的平面角大小为————13.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程是 ．14.如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．13\n15.已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为;三、解答题（本题共6道小题，共75分）16.(本小题满分12分)已知a＞0，命题p：∀x＞0，x+≥2恒成立，命题q：∀k∈R，直线kx﹣y+2=0与椭圆x2+=1有公共点，求使得p∨q为真命题，p∧q为假命题的实数a的取值范围．17.(本小题满分12分)设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点，，且P为L上动点，求|||－|||的最大值及此时点的坐标．18.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．13\n19.(本小题满分12分)如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.20.（本小题满分13分）如图，在直角梯形中，，，，，为上一点，且，，现沿折叠使平面平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）能否在边上找到一点使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在请说明理由．13\n21.（本小题满分14分）椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线过点且与开口向上，顶点在原点的抛物线切于第二象限的一点，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，若，,且，求抛物线的标准方程．13\nxyANMBOD13\n高二数学试题答案1.B2.C3.B4.B5.C6.D7.D8.C9.A10.D11.﹣16≤a≤012.60013.14.﹣115.616.解答：解：命题p：因为a＞0时，对∀x＞0，x+，则：2，a≥1；命题q：由得：（k2+a2）x2+4kx+4﹣a2=0则：△=4a2（a2+k2﹣4）≥0，即a2≥﹣k2+4；而﹣k2+4在R上的最大值为4；∴a2≥4，∵a＞0，∴解得a≥2；p∨q为真命题，p∧q为假命题时，p，q一真一假；∴（1）若p真q假，则：；∴1≤a＜2；（2）若p假q真，则：；∴a∈∅；综上可得，a的取值范围是，不等式恒成立，求实数a的取值范围．17.(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，13\n∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，18.解答：解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，13\n∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．19.（1）证明：∵是的中点，且，∴.∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵四边形是正方形，∴.∵，平面，13\n平面，∴平面.∵平面，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴. ………6′（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，,.∴，.设平面的法向量为，由得令，得，∴为平面的一个法向量.∵平面，平面，∴平面平面.连接，则.∵平面平面，平面，∴平面.∴平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，则.13\n∴.∴二面角的平面角的正弦值为.…………12′20（1）证明：在直角梯形中易求得……2分∴，故,且折叠后与位置关系不变……4分又∵面面,且面面∴面………………6分xyz（2）解：∵在中，，为的中点∴又∵面面,且面面∴面,故可以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则易求得面的法向量为……8分假设在上存在一点使平面与平面所成角的余弦值为，且∵故13\n又∴又设面的法向量为∴令得……………………10分∴解得…………………………12分因此存在点且为线段上靠近点的三等分点时使得平面与平面所成角的余弦值为.…………………………13分21.（1）由题意知，，即………………1分又，………………2分故椭圆的方程为………………4分（2）设抛物线的方程为，直线与抛物线的切点为设切线的斜率为，则切线的方程为，联立方程，由相切得，则直线的斜率为13\n则可得直线的方程为………………6分直线过点即在第二象限直线的方程为………………8分代入椭圆方程整理得设则………10分由，,得抛物线的标准方程为………………13分13
