高中二年级期中考试数学试题B卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)1．已知复数z=1﹣i，则=（ ） A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i2．已知，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.以上都不对3．盒中装有6个大小不同的小球，其中2个红色的，4个黄色的，从中任取3个，则至少有一个是红色的概率是（）A．16B．1C．D．4．已知二次函数y=ax2+bx+c，且a，b，c∈{0，2，4，6，8}，则不同的二次函数有（ ） A．125个B．100个C．60个D．48个5．f（x）=3x﹣cos（2x）在（﹣∞，+∞）上（ ） A．是增函数B．是减函数C．有最大值D．有最小值6．若a=∫02x2dx，b=∫02x3dx，c=∫02sinxdx，则a、b、c的大小关系是（ ） A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b7．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则展开式中x3的系数为（ ） A．﹣150B．150C．﹣500D．5008．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数9．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 -7-\n42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n=（ ） A．10B．11C．12D．1310．2022年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．18种B．36种C．48种D．72种11．给出下面四个类比结论①实数a，b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，，若•=0，则=或=；②实数a，b，有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（+）2=2+2•+2；③向量，有||2=2；类比复数z，有|z|2=z2；④实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2有z12+z22=0，z1=z2=0．其中类比结论正确的命题个数为（ ） A．0B．1C．2D．312．设是上的奇函数，且，当时，，且，则不等式的解集是()A.B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分．）13． 若（2k2﹣3k﹣2）+（k2﹣2k）i是纯虚数，则实数k的值等于 _________ ．14．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是.-7-\n15．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则.16．已知则______.三、解答题：（本题共6个小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）17．已知z=1+i，a，b为实数．（1）若ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若，求a，b的值．18．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．19．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐法有多少种？(2)此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？(3)所有空位不相邻的坐法有多少种？20.如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．-7-\n.21．数列满足,先计算前4项后,再猜想的表达式,并用数学归纳法证明.22．已知a∈R，函数f（x）=x2（x﹣a）．（1）若函数f（x）在区间内是减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．高中二年级期中考试数学答案B卷（理科）2022年5月一、选择题：ACDBADBBBDBD二、填空题：﹣4x﹣y﹣3=02032三、解答题17.解：（1）因为ω=z2+3﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|==；…6分（2）由条件，得，-7-\n即，∴（a+b）+（a+2）i=1+i，∴，解得．…12分18.解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C．…4分（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．在Rt△AA1C中，AD===，在Rt△BAD中，tan∠ADB==，∴cos∠ADB=，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．…12分19.解：(1)4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位，所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数，∴所有可能的坐法有=360种．…4分(2)4人中甲，乙两人相邻，用捆绑法得到4人中甲，乙两人相邻的坐法有=120种．…8分(3)所有空位不相邻用插空法，先把4人排成一排，有种排法，再往4个人构成的个空中插入两个空座位，有种插入方法，由乘法原理，得所有空位不相邻的坐法有=240种．…12分20.解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）∴，∴COS＜＞==﹣…（5分）-7-\n所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）（2）设平面ABC的法向量为则知知取，…（8分）则…（10分）故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）21.解：计算得:.猜想…5分①时,计算得,结论成立;…6分②设时,,则时,∴.∴时亦成立.…11分综合①②可得对一切均有成立.…12分22.（1）解：∵f（x）=x3﹣ax2，∴f'（x）=3x2﹣2ax．…（2分）∵函数f（x）在区间内是减函数，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在上恒成立．即在上恒成立，…（4分）∵，∴a≥1．故实数a的取值范围为[1，+∞）．…（6分）（2）解：∵，-7-\n令f'（x）=0得．…（8分）①若a≤0，则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（a）=f（1）=1﹣a．…（9分）②若，即，则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（a）=f（1）=1﹣a…（10分）③若，即，则当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．∴f（x）在上是减函数，在上是增函数．∴．…（11分）④若a≥3，即，则当1＜x＜2时，f'（x）＜0，所以f（x）在区间[1，2]上是减函数．所以h（a）=f（2）=8﹣4a．…（12分）综上…（14分）-7-
