2022－2022学年上期第一次摸底考试高三数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．己知集合，则下列结论正确的是A．B．3BC．D．2．己知，其中i为虚数单位，则a＋b=A．－1B．1C．2D．33．设随机变量服从正态分布N（3，4），若，则实数a的值为A．B．C．D．4．某程序框图如右图所示，则输出的n值是A．21B．22C．23D．245．己知函数，则函数的零点所在的区间是A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A．B．C．D．7．若，是第三象限的角，则＝A．B．C．D．－210\n8．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z＝2x＋y的最小值为1，a＝A．B．C．1D．29．已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为A．（－15，＋）B．[－15，＋）C．[－16，＋）D．（－16，＋）10．若，则等于A．B．－lC．D．11．“a＜0”是“函数在区间上单调递增”的A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件12．已知一函数满足x＞0时，有，则下列结论一定成立的是A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。）13．设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________．14．如果双曲线的渐近线与撒物线相切，则双曲线的离心率为__________．15．已知平行四边形ABCD中，AB＝1，E是BC边上靠近点B的三等分点，AEBD，则BC长度的取值范围是____________．10\n16．己知函数，为的等差数列，则＋＋＋…＋＝_____________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分12分）在ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量，且（Ⅰ）求角A的大小及向量与的夹角；（Ⅱ）若，求ABC面积的最大值．18．（本小题满分12分）设X为随机变量，从棱长为a的正方体，的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X＝0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积．（Ⅰ）求概率P（X＝0）；（Ⅱ）求X的分布列，并求其数学期望E（X）．19．（本小题满分12分）己知四棱锥P－ABCD，其中底面ABCD为矩形侧棱PA底面ABCD，其中BC＝2AB＝2PA＝6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如右图所示：（Ⅰ）求证：AN∥平面MBD；（Ⅱ）求二面角B－PC－A的余弦值．20．（本小题满分I2分）己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A，B连线的斜率之积为－4（Ⅰ）求动点P的轨迹的方程；（Ⅱ）过点B的直线与，分别交于点M，Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积21．（本小题辅分12分）已知函数（为常数）10\n（Ⅰ）当＝l对，求单调区间；（Ⅱ）若函数在区间（0，1）上无零点，求的最大值【选做题】请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4－l：几何证明选讲如图，⊙O是ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．23．（本小题满分l0分）选修4—4：坐标系与参数方程己知抛物线的顶点M到直线l：（t为参数）的距离为1（Ⅰ）求m：（Ⅱ）若直线与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求的值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为．（Ⅰ）求长方体体积的最大值；（Ⅱ）设，求的最大值10\n理数答案答案：DBACBCDBDADB13.414.315.（1，3）16.10017．解：（1）因为角为锐角，所以，……………………………………3分根据………………………………………………….6分(2)因为，，得：……………………9分即面积的最大值为……………………………….12分18.解（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有种不同取法.其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面).则P(X=0)=.…………………………………………………4分（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:①四点在相对面且异面的对角线上,体积为这样的取法共有2种.……………………………………………6分②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为.10\n这样的取法共有种………………………………………………8分X的可能取值是0，，………………………………………………9分X的分布列为X0数学期望E(X)=.………………………………………………12分19.（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，∴OM//AN，∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD4分．（2）易知为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=,PA=3如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),设平面的法向量为,，并且,，令得,∴平面MBD的一个法向量为,6分设平面法向量为,同理可得8分10分由图可知,二面角为锐角,∴二面角的余弦值为10\nQxPABOy20．解：(1)不妨设点在点左侧，则设，则整理得：所以动点的轨迹C2的方程为-------5分没有y的范围扣1分(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C2的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点M的坐标为(xP，yP)，∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xM＝，从而yM＝，∴点M的坐标为.--------------------------------7分同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．由题意可知AM⊥AQ，且．∴，即[k－4(k＋2)]＝0，∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.--------------------------------10分∴∴所以的面积为.…………………………12分答案：10\n21．解：（Ⅰ）当时，函数，由得，由得故的单调递减区间为，单调递增区间为……………5分（Ⅱ）若函数在区间上无零点，则对，恒成立或者恒成立.由，得，，故若，恒成立；若，，所以，函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立.……………8分（后续步骤分为解法一和解法二）解法一：，当，即时，由得，由得，即在区间上单调递减，在区间上单调递增；此时，构造，，故，所以当时，，即对，不恒成立，舍去；…………10分当，即时，由得，由得，即在区间上单调递减，故，满足对，恒成立，综上，，即的最大值为2.…………12分10\n解法二：由对，恒成立可得对，恒成立.令，令，由得在区间上单调递增，即，从而，即在区间上单调递减，由罗比达法则知，即，若对，恒成立，可得，即的最大值为2…………12分22.(1)证明：由D为中点知，∠ABD＝∠CBD，又∵∠ABD＝∠ECD，∴∠CBD＝∠ECD，又∠CDB＝∠EDC，∴△BCD～△CED，∴＝，∴DC2＝DE·DB；…………………………5分(2)∵D是的中点，∴OD⊥AC，设OD与AC交于点F，则OF＝1，在Rt△COF中，OC2＝CF2＋OF2，即CF2＝r2－1，在Rt△CFD中，DC2＝CF2＋DF2，∴(2)2＝r2－1＋(r－1)2，解得r＝3.…………………………10分23.解：（1）M(0，m),直线l的一般方程M到直线的距离为…………………………4分(2)直线与抛物线相交于A、B两点，故.10\n将直线l的一个标准参数方程为代入得故,=…………………………10分24.解(1)由题意可知，由三个正数的基本不等式可得，即，所以长方体体积的最大值;…………………………5分(2)，根据柯西不等式，有，，当且仅当“”即“”时，取得最大值12.…………………………10分10
