山东省2022届高三高考模拟卷（四）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则的值为A．2B．1C．D．2．定义运算，则符合条件的复数是A．B．C．D．3.“或”为真命题是“且”为真命题的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4.定义某种运算，运算原理如图所示，则式子的值为A．13B．11C．8D．45.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为6．已知圆C的方程为，当圆心C到直线12的距离最大时，的值为A．B．C．D．57.如果函数的两个相邻零点之间的距离为，则的值为A．3B．6C．12D．248．已知向量，，，且，，则的最小值为A．4B．10C．16D．209．设，函数的图象可能是10．已知斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且与轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A．B．C．或D．或11.在△ABC中，已知，，且最大角为，则这个三角形的最大边等于A．4B．14C．4或14D．2412．定义在R上的偶函数，对任意，有，则A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．如图，在一不规则区域内，有一边长为1米12的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．14．已知变量满足约束条件，且目标函数的最小值为，则常数_______．15.已知四棱柱中，侧棱底面ABCD，且，底面ABCD的边长均大于2，且，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥体积的最大值为______．16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：……根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．（本小题满分12分）已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为，且，．(1)求cosC的值；(2)当时，求函数的最大值．18.(本小题满分12分)已知数列满足：，，．数列的前项和为，且，．(1)求数列，的通项公式；(2)令数列满足，求数列的前项和．1219．(本小题满分12分)为了了解某年级1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，被抽取学生的成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组；第二组：…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．(1)将频率当作概率，请估计该年级学生中百米成绩在内的人数；(2)求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；(3)若从第一、五组中随机取出两名学生的成绩，求这两名学生的成绩的差的绝对值大于1的概率．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求三棱锥A-PBC的体积．21.（本小题满分13分）已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，22.（本小题满分13分）已知是函数的两个极值点．(1)若，，求函数的解析式；(2)若，求实数的最大值；(3)设函数，若，且，求函数在内的最小值．(用表示)12山东省2022届高三高考模拟卷（四）数学（文科）参考答案一、1．B【解析】因为，所以．又因为，而B中最多有两个元素，所以，所以．选B．2.A【解析】设．根据定义运算得，即，根据复数相等的定义得得所以．3.C【解析】若命题“或”为真命题，则中至少有一个为真命题；若命题“且”为真命题，则都为真命题．因此“或为真命题是“且”为真命题的必要不充分条件．故选C．4．A【解析】原式1)=13．5．C【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C．6．A【解析】圆C的方程可化为，所以圆心C的坐标为，又直线恒过点，所以当圆心C到直线的距离最大时，直线CA应垂直于直线，因为直线CA的斜率为，所以，．7．C【解析】由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的距离为周期的一半，即该函数的周期，故，解得．故选C．8．C【解析】由，，得，则，即，故12，当且仅当时等号成立．9．C【解析】由解析式可知，当时，，由此可以排除A、B选项．又当时，，从而可以排除D．故选C．10．D【解析】抛物线的焦点坐标是，直线的方程是，令，得，故，所以△OAF的面积为，由题意，得，解得．故抛物线方程是或．故选D．11．B【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以大于，则，由余弦定理得，所以，所以或（舍去）．12．A【解析】由已知条件可知，函数在上单调递减，因此，又为偶函数，则，从而．二、13．【解析】设该不规则图形的面积为平方米，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，所以根据几何概型的概率计算公式可知，解得．14．9【解析】先根据约束条件画出变量满足的可行域如图中阴影部分所示．易知直线与的交点为，观察图形可知目标函数在点处取得最小值，即，解得．1215．【解析】由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定理得，所以、在△PMN中，由余弦定理可得，当且仅当PM=PN时取等号，所以，所以底面△PMN的面积，当且仅当PM=PN时取最大值，故三棱锥的体积．16．11【解析】由，，，…，可知．由，可知，易知，则21是53的分解中最小的正整数，可得．故．三、17．【解析】(1)在△ABC中，因为，所以．（2分）又，，所以，或（舍），（4分）所以．（6分）(2)由(1)知，（7分）所以12，（10分）又，所以．（12分）18．【解析】(1)由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1．∴数列的通项公式为．（2分）∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分）又，∴，∴数列的通项公式为．（6分）(2)由已知得：．∴，∴，（8分）∴两式相减得．（10分）∴数列的前项和．（12分）19．【解析】(1)百米成绩在内的频率为，．所以估计该年级学生中百米成绩在内的人数为320．（4分）(2)设图中从左到右的前3个组的频率分别为．依题意，得，解得．（6分）设调查中随机抽取了名学生的百米成绩，则，解得，故调查中随机抽取了50名学生的百米成绩．（8分）(3)百米成绩在第一组的学生人数为，记他们的成绩为，12百米成绩在第五组的学生人数为，记他们的成绩为，则从第一、五组中随机取出两名学生的成绩包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，（10分）其中满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共12个，所以所求概率．（12分）20．【解析】(1)如图，取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以，所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．（2分）在△PAB中，PA=EA，AF=FB，所以EF//PB．又因为DFEF=F，PBBC=B，所以平面DEF∥平面PBC.（4分）因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC．（6分）(2)取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，．（8分）又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD．直角梯形ABCD中，CD//AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以，（10分）故三棱锥A-PBC的体积．（12分）21．【解析】(1)因为椭圆C的离心率，所以，即．（4分）因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，12所以，所以，．所以椭圆C的方程为．（6分）(2)(i)当直线的斜率不存在时．因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为．由不妨设，，则以AB为直径的圆的方程为．（6分）(ii)当直线的斜率为零时．因为直线与圆M相切，所以其中的一条切线方程为．由不妨设，，则以AB为直径的圆的方程为．显然以上两圆都经过点O(0，0)．（8分）(iii)当直线的斜率存在且不为零时．设直线的方程为．由消去，得，所以设，，则，．12所以．所以．①（11分）因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，②将②代入①，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)．（13分）22．【解析】．(1)因为，是函数的两个极值点，所以，．（2分）所以，，解得，．所以．（4分）(2)因为是函数的两个极值点，所以，所以是方程的两根，因为，所以对一切，恒成立，而，，又，所以，所以，由，得，所以．12因为，所以，即．（6分）令，则．当时，，所以在(0，4)上是增函数；当时，，所以在(4，6)上是减函数．所以当时，有极大值为96，所以在上的最大值是96，所以的最大值是．（8分）(3)因为是方程的两根，且，所以，又，，所以，所以，其对称轴为，因为，所以，即，（11分）所以在内函数的最小值．（13分）12
