2022-2022学年度上学期期中考试高二理科数学2022.11考生注意：1、本卷考试范围：人教A版必修2。满分150分，考试时间120分钟；2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息；3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置，在非答题区位置作答无效。第I卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。)1.光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则由（）A.，B.，C.，D.，2.若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（）．A.或B.或C.或D.或3.在三菱柱中，是等边三角形，平面，，，则异面直线和所成角的正弦值为（）A.B.C.18\nD.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.B.C.D.5.在四面体中，底面，，，，为的重心，为线段上一点，且平面，则线段的长为()A.B.C.D.6.如图4，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为（）A.B.C.1D.7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，18\n是中点，则下列叙述正确的是（）A.与是异面直线B.平面C.D.平面8.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A.B.C.D.9.在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.18\n10.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（ ）A.1B.C.D.211.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12.设为两个不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，且，，则.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①②③C.①③④D.②④第II卷（非选择题90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)18\n13.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为 ．14.已知的顶点都在球的球面上，，三棱锥的体积为，则该球的表面积等于_________.15.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面，交PB,PC分别于E,F，当三棱锥P-AEF体积最大时，= ．16.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 ．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（10分）直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．18.（12分）在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以18\n为圆心的圆：（）与圆交于，两点.（1）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，，当直线长最小时，求直线的方程；（2）设是圆上异于，的任意一点，直线、分别与轴交于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.20.（12分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，．（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．18\n21.（12分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）设，求点到平面的距离．22.（12分）如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，（1）证明：；（2）求异面直线与所成的角；（3）证明：平面平面。18\n2022-2022学年度上学期期中考试高二理科数学参考答案1.A【解析】在直线上任意取一点，，则点关于直线的对称点在直线上，故有，即，结合所给的选项，只有，合题意，故选A.2.C【解析】圆，化成标准方程为，圆心到直线的距离，解得或，故选．3.A【解析】如图，作交的延长线于，连接，则就是异面直线和所成的角（或其补角），由已知，，由，知异面直线和所成的角为直角，正弦值为，故选A.4.B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为,故选B.5.A【解析】如图，延长AG交BC于点H，过点G作GE//BC交AC于点E，过点E作EF//DC，交AD于点F，则平面EFG//平面BCD，又FG平面BCD，所以FG//平面BCD，又18\n，所以,，所以.6.D【解析】设棱长为的中点为，连接，由正三棱柱中，个棱长都相等，可得，所以二面角的平面角为，在中，，所以，即二面角的平面角的正切值为，故选D.7.C【解析】中，与在侧面，又不平行，故相交，错误；中，与面斜交，夹角为，错误；中，，是异面直线，且，，所以，故正确；中，与平面有公共点，所以与平面相交，错误．故选．8.B【解析】直线和的斜率均为1，所以两直线平行．因为圆与直线和都相切，所以两平行线直线和间的距离即为所求圆的直径，即，所以半径．因为圆心在直线上，则可设圆心为，圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即18\n，解得，依题意可知，所以，则圆心为，所以圆方程为．故B正确．9.D【解析】取中点分别为，连接，根据题意知：易知三棱锥的外接球球心在线段上，连接，有，三棱锥的外接球的体积为。故答案选10.C【解析】由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2，四棱锥的4个侧面面积分别为：=；=；=；=．最大侧面面积为：．故选：C．18\n11.C【解析】曲线方程可化为，其图像为半圆（如图所示），其中．又直线过定点，若直线与半圆有两个不同交点，则，当直线与相切时，有，解得，故实数．故答案为：C．12.A【解析】①若，，则平面内任意直线都与平面平行，∴，故①正确；②若，，，则也可以平行于与的交线，此时两平面不平行，故②错误；③，根据面面垂直的判定定理，可得，故③正确；④若，，若可以与面斜交，不一定垂直，故④不正确；故选A13.【解析】设所给半球的半径为，则四棱锥的高，则，所以，所以半球的表面积为.所以答案是:6π.18\n14.【解析】依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O-ABC的高为h，则由得，设球O的半径为R，则由得，故该球的表面积为.15.【解析】平面，则，又平面，平面，设，在中，，在中，，，时，三棱锥P-AEF体积最大为，此时，，.故答案为:.16.【解析】由题意，圆心到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则，则，。17.＋＝1.【解析】设直线的方程，若满足（1）可得，联立可解，即可得方程；（2）若满足，可得，同样可得方程，它们公共的方程即为所求.试题解析：设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②18\n由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得，或.∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.若满足条件(2)，则ab＝12，③由题意得，＋＝1，④由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得，或.∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.18.（1）（2）是定值，定值为4【解析】（1）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即，，当且仅当时取等号，此时直线的方程为．（2）设，，则，，直线的方程为：直线的方程为：分别令，得18\n所以为定值．19.（Ⅰ）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,又侧棱底面,面又是等腰三角形，是的中点,.同理是等腰三角形，是的中点,面平面（Ⅱ）侧棱底面,面由（Ⅱ）知：平面,是三棱锥到平面的距离分别是的中点,，,四边形是边长为的正方形，是的中点三角形是等边三角形20.（1）（2）【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．18\n（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为．设平面的法向量为，则，即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．（2）因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为．因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．18\n又因为，所以．21.（1）证明：（方法一）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．又，∴平面平面．∵平面，∴平面．（方法二）设线段的中点为，连接．∵为的中点，∴，且．又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面平面，∴平面（2）（方法一）∵四边形为直角梯形，．∴四边形为正方形，为等腰直角三角形．∴，即．18\n又∵平面，∴．又，∴平面，面平面，∴平面平面过作于点，则平面，即为点到平面的距离．∵，∴，∴，点到平面的距离为（方法二）设点到平面的距离为．∵，∴，∴．由方法一得，平面，∴，∴．22.【解析】（1）因为平面，所以;（2）取AB中点G，连接，因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，可证是平行四边形，所以，设与相交于点H，则是与所成的角，因为E是的中点，所以，即与所成的角是；（3）由上可知，，所以平面AED，18\n从而得平面平面.18
