安徽省巢湖市2022-2022学年高二数学第二次月考试卷文注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间中，下列命题正确的是（ ）A.若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥αB.若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥βC.若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥αD.若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β2.某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（ ）A.3B.4C.6D.123.已知在“斜二测”画法下，△ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则△ABC的面积为（ ）A.B.C.D.4.若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（ ）A.B.C.D.5.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点，且垂直于直线x-2y=0的直线方程是（ ）A.2x+y-8=0B.2x-y-8=0C.2x+y+8=0D.2x-y+8=06.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行,相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（ ）A.4πB.πh2C.π（2-h）2D.π（4-h2）-7-1.已知一条光线自点M（2，1）射出，经x轴反射后经过点N（4，5），则反射光线所在的直线方程是（ ）A.3x+y+5=0B.2x-y-3=0C.3x-y-7=0D.3x-y-5=02.经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，则斜率k的取值范围为（ ）A.[-1，1]B.（-1，1）C.（-∞，-1]∪[1，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）3.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）A.直线BE与直线CF共面B.直线BE与直线AF是异面直线C.平面BCE⊥平面PADD.面PAD与面PBC的交线与BC平行4.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥P-QEF的体积D.△QEF的面积5.设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平的，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m∥n，n⊂α，则m∥α④若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中正确命题的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④6.三棱锥A-BCD中，DA⊥AC，DB⊥BC，DA=AC，DB=BC，AB=CD，若三棱锥A-BCD的体积为，则CD的长为（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）7.过两点（-1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是______．8.已知直线3x+4y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是______．-7-1.如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______．2.已知直线l1：x+（1+m）y+m-2=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，则经过点A（3，2）且与直线l1垂直的直线方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）3.底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．4.已知直线过点P（2，1）．（1）若直线与3x-2y+4=0平行，求直线的方程．（2）若直线与3x-2y+4=0垂直，求直线的方程．（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．5.如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．（1）求证：l∥EF；（2）求三棱锥P-AEF的体积．-7-1.已知直线l过点P（2，1）（1）点A（-1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．3.如图所示，互相垂直的两条道路l1、l2相交于O点，点P与l1、l2的距离分别为2千米、3千米，过点P建一条直线道路AB，与l1、l2分别交于A、B两点．（1）当∠BAO=45°时，试求OA的长；（2）若使△AOB的面积最小，试求OA、OB的长．-7-2022/2022高二第二次月考文科数学答案和解析【答案】1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 11.B 12.B 13.-14.15.16.2x-y-4=017.解：（1）根据相似性可得：，…（3分）解得：h=6-2x（0＜x＜3）…（6分）（2）解：设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式y=2x2+4xh=2x2+4x（6-2x）=-6（x-2）2+48…（9分）因为0＜x＜3，所以当x=2时，ymax=48…（11分）故当正四棱柱的底面边长为2时，正四棱柱的表面积最大值为48…（12分）18.解：（1）设直线方程为，过点P（2，1）…（2分）所以3+m=1，所以m=-2从而直线方程为…（4分）（2）设直线方程为，过点P（2，1）…（6分）所以，所以从而直线方程为…（9分）（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x，即x-2y=0．②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，把点（2，1）代入可得：a=2+1=3．可得直线方程为x+y-3=0．综上可得：要求的直线方程为：x-2y=0，或x+y-3=0．19.证明：（1）过F作EF∥CD交PD于F，连接EF，AF，∵E是PC的中点，∴F是PD的中点，又CD∥AB，∴EF∥AB，∵AB∥CD，CD⊂平面PAC，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，∴AB∥l，∴l∥EF．解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，-7-∴CD⊥平面PAD，又CD∥EF，∴EF⊥平面PAD，∵底面ABCD为矩形，△PAD为正三角形，AD=2，AB=4，∴EF=CD=AB=2，S△PAF=S△PAD==，∴VP-AEF=VE-PAF===．20.解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即kx-y-2k+1=0，由题意得：=解之得：k=-或k=-1，故所求直线方程为x+2y-4=0或x+y-3=0（2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，则l的截距式方程为：，又l过点（2，1），△ABO的面积为4，∴，解得，故l方程为，即x+2y-4=0．21.（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD．∵△PAD为等腰直角三角形，且∠APD=90°，∴PA=PD，∴PG⊥AD．∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BG⊥AD．又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．…（4分）（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN．∵M，N分别是PA，PB的中点，∴MN∥AB，MN=AB．又AB∥CD，CD=，∴MN∥CD，MN=CD．∴四边形MNCD是平行四边形．∴DM∥CN．又CN⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（8分）-7-解：（Ⅲ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，又PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴∠PBG为PB与平面ABCD所成的角．设CD=a，则PG=a，BG=．在Rt△PBG中，∵tan∠PBG=，∴∠PBG=30°．∴PB与平面ABCD所成的角为30°．…（13分）22.解：以l1为x轴，l2为y轴，建立平面直角坐标系，则O（0，0），P（3，2）…（1分）（1）由∠BAO=45°，知OA=OB，可设A（a，0），B（0，a）（a＞0）直线l的方程为：，…（3分）∵l过点P（3，2），∴…（5分）即OA=5（千米）…（7分）（2）设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）则直线l的方程为：，∵l过点P（3，2），∴，（a＞3）…（9分）从而，…（11分）令a-3=t，t＞0，则a2=（t+3）2=t2+6t+9，故有（t＞0）设，可证f（t）在（0，3）上递减，在（3，+∞）上递增．∴当t=3时，f（t）max=f（3）=12…（15分）此时a=6，b=4，直线l的方程为即OA=6（千米），即OB=4（千米）．…（16分）-7-
