2022-2022学年安徽省宣城市八校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的）1．（5分）某校采用系统抽样，从该校高二年级全体1000名学生中抽取一个样本做视力检查．现将这1000名学生从1则1000进行编号，已知样本中编号最小的两个数分别是14、64，则样本中最大的编号应该为（ ）A．966B．965C．964D．9632．（5分）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，则输出s＝（ ）A．3B．﹣3C．2D．﹣24．（5分）现有一个k进制的数27（k），k为其所有可能取值中最小的正整数，则27（k）化为十进制为（ ）A．24B．23C．22D．215．（5分）若集合A＝{3，a2}，B＝{2，4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的（ ）21/21\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在5场篮球比赛中某篮球运动员A的得分所构成的样本为21，15，17，8，13．若篮球运动员B的得分所构成的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据，则A，B两名运动员得分所构成的两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A．平均数B．众数C．中位数D．标准差7．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ）A．B．C．D．8．（5分）下列命题中是真命题的是（ ）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，lg（x2+1）≥0C．若x2＞x，则x＞0”的逆命题D．若x＜y，则x2＜y2”的逆否命题9．（5分）等边三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，O为坐标原点，则这个三角形的边长为（ ）A．B．C．D．2p10．（5分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则b的值为（ ）A．3B．﹣3C．5D．﹣511．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A．3B．2C．D．21/21\n12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）A．B．（0，e）C．D．（﹣∞，e）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）命题：∃x0∈R，x02+2x0+2＜0的否定 ．14．（5分）某人发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为 ．15．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为 ．16．（5分）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100）五组，绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下，由于工作疏忽，茎叶图有部分被损坏，频率分布直方图也不完整，请据此解答如下问题：（注：该班同学数学成绩均在区间[50，100）内）（1）将频率分布直方图补充完整．（2）该班希望组建两个数学学习互助小组，班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长，将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组，即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员，求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率．18．（12分）p：关于x的方程x2+（a﹣2）x+4＝0无解，q：2﹣m＜a＜2+m（m＞0）（1）若m＝5时，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．21/21\n（2）当命题“若p，则q”为真命题，“若q，则p”为假命题时，求实数m的取值范围．19．（12分）企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的8%缴纳，年份20222022202220222022t12345y270330390460550某企业员工甲在2022年至2022年各年中每月所撒纳的养老保险数额y（单位：元）与年份序号t的统计如下表：（1）求出t关于t的线性回归方程；（2）试预测2022年该员工的月平均工资为多少元？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：（注：＝＝，＝，其中tiyi＝6440）20．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2＝﹣4．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知点P（﹣1，k），且△PAB的面积为6，求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数y＝f（x）的单调区间．（2）当a＝3时，证明：对任意x＞0，都有f（x）≥2（1﹣x）成立．21/21\n22．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F2（2，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21/21\n2022-2022学年安徽省宣城市八校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的）1．（5分）某校采用系统抽样，从该校高二年级全体1000名学生中抽取一个样本做视力检查．现将这1000名学生从1则1000进行编号，已知样本中编号最小的两个数分别是14、64，则样本中最大的编号应该为（ ）A．966B．965C．964D．963【分析】求出样本间隔和样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：样本间隔为64﹣14＝50，共抽取1000÷50＝20个，则最大的编号应该为14+19×50＝964，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔和样本容量，结合等差数列的公式是解决本题的关键．2．（5分）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对【分析】由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．【解答】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．21/21\n故选：B．【点评】本题考查了互斥事件与对立事件，考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，则输出s＝（ ）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k值，当k＝5时，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，a＝1，k＝1，s＝0，满足条件k≤4，执行循环，s＝1，a＝﹣1，k＝2；满足条件k≤4，执行循环，s＝﹣1，a＝1，k＝3；满足条件k≤4，执行循环，s＝2，a＝﹣1，k＝4；满足条件k≤4，执行循环，s＝﹣2，a＝1，k＝5；此时，不满足条件k≤4，退出循环输出S的值为﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．4．（5分）现有一个k进制的数27（k），k为其所有可能取值中最小的正整数，则27（k）化为十进制为（ ）21/21\nA．24B．23C．22D．21【分析】由已知可求k的值，利用k进制数化为十进制数的方法即可得解．【解答】解：∵k进制的数27（k），k为其所有可能取值中最小的正整数，∴k＝8，∴27（8）＝2×81+7×80＝23．故选：B．【点评】本题考查了k进制数化为十进制数的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）若集合A＝{3，a2}，B＝{2，4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以根据充要条件的定义进行判断，解题的关键是理清思路．【解答】解：∵“a＝2”⇒A＝{3，4}，又B＝{2，4}，⇒“A∩B＝{4}”；反之不成立；∴“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．（5分）在5场篮球比赛中某篮球运动员A的得分所构成的样本为21，15，17，8，13．若篮球运动员B的得分所构成的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据，则A，B两名运动员得分所构成的两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A．平均数B．众数C．中位数D．标准差【分析】根据平均数、众数、中位数和标准差的定义，结合题意，即可判断出正确的结果．【解答】解：A的样本数据为21，15，17，8，13；B的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据，则A样本数据比B两样本数据的平均数大3，众数大3，中位数也大3，标准差相同．21/21\n故选：D．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和标准差的定义与应用问题，是基础题．7．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ）A．B．C．D．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，求解即可．【解答】解：抛物线x2＝24y的焦点：（0，6），可得c＝6，双曲线的渐近线的倾斜角为60°，双曲线的焦点坐标在y轴上．可得，即＝，36＝a2+b2，解得a2＝27，b2＝9．所求双曲线方程为：．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5分）下列命题中是真命题的是（ ）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，lg（x2+1）≥0C．若x2＞x，则x＞0”的逆命题D．若x＜y，则x2＜y2”的逆否命题【分析】直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果．【解答】解：对于选项A，对于∃x0∈R，为假命题．故错误，对于选项C：当0＜x＜1时，逆命题不成立．21/21\n对于选项D：若“x＜y，则x2＜y2”为假命题，故逆否命题为假命题．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，不等式的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）等边三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，O为坐标原点，则这个三角形的边长为（ ）A．B．C．D．2p【分析】根据抛物线的对称性可知，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则另外两个定点关于x轴对称，就可的直线OA的倾斜角，据此求出直线OA的方程，与抛物线方程联立解出A点坐标，就可求出正三角形的边长．【解答】解：∵抛物线y2＝2px关于x轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则A，B点关于x轴对称，∴直线OA倾斜角为30•斜率为∴直线OA方程为y＝x，由得，，∴A（6p，2p），则B（6p，﹣2p），∴|AB|＝4p∴这个正三角形的边长为4p．故选：C．21/21\n【点评】本题主要考查了抛物线的对称性，直线方程的点斜式，以及曲线交点的求法，属于圆锥曲线的综合题．10．（5分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则b的值为（ ）A．3B．﹣3C．5D．﹣5【分析】因为（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x＝1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值．【解答】解：把（1，3）代入直线y＝kx+1中，得到k＝2，求导得：y′＝3x2+a，所以y′x＝1＝3+a＝2，解得a＝﹣1，把（1，3）及a＝﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b＝3，则b的值为3．故选：A．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．11．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A．3B．2C．D．【分析】根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N21/21\n将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．【解答】解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选：B．【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）A．B．（0，e）C．D．（﹣∞，e）【分析】求出函数的导数，问题转化为y＝a和g（x）＝在（0，+∞）2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可．【解答】解：f′（x）＝lnx﹣aex+1，若函数f（x）＝xlnx﹣aex有两个极值点，则y＝a和g（x）＝在（0，+∞）有2个交点，g′（x）＝，（x＞0），令h（x）＝﹣lnx﹣1，则h′（x）＝﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）递减，而h（1）＝0，故x∈（0，1）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）max＝g（1）＝，而x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0，若y＝a和g（x）在（0，+∞）有2个交点，只需0＜a＜，故选：A．21/21\n【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）命题：∃x0∈R，x02+2x0+2＜0的否定 ∀x∈R，x2+2x+2≥0． ．【分析】存在性命题”的否定一定是“全称命题”．【解答】解：∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”，∴：∃x0∈R，x02+2x0+2＜0的否定是：∀x∈R，x2+2x+2≥0．故答案为：∀x∈R，x2+2x+2≥0．【点评】命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．14．（5分）某人发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为 ．【分析】根据几何概型的定义求出等待的时间段，进行求解即可．【解答】解：在一个小时内对应的区间为[0，60]，若等待的时间不多于15分钟，则此时对应的时间段在（0，15），则对应的概率P＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，转化为长度型是解决本题的关键．15．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于21/21\nA，B两点，；则C的实轴长为 4 ．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ．（1）∵抛物线y2＝16x，2p＝16，p＝8，∴＝4．∴抛物线的准线方程为x＝﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x＝﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|＝|y﹣（﹣y）|＝2y＝4，∴y＝2．将x＝﹣4，y＝2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2＝λ，∴λ＝4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝4，即∴C的实轴长为4．故答案为：4【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是 [1，） ．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）＝4x﹣，由f'（x）＝0，得x＝．据题意，，解得1≤k＜故答案为：[1，）【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.21/21\n17．（10分）现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100）五组，绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下，由于工作疏忽，茎叶图有部分被损坏，频率分布直方图也不完整，请据此解答如下问题：（注：该班同学数学成绩均在区间[50，100）内）（1）将频率分布直方图补充完整．（2）该班希望组建两个数学学习互助小组，班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长，将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组，即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员，求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率．【分析】（1）由茎叶图得成绩在[50，60）中的人数为4人，由频率分布直方图得成绩在[50，60）中的人数所点的频率为0.08，从而总人数为50人，由此能把频率分布直方图补充完整．（2）与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能，由此能求出此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率．【解答】解：（1）由茎叶图得成绩在[50，60）中的人数为4人，由频率分布直方图得成绩在[50，60）中的人数所点的频率为0.008×10＝0.08，∴总人数为4÷0.08＝50人，∴成绩在[70，80）组的人数为50﹣4﹣14﹣12﹣4＝16（人），∴频率分布直方图中成绩在[70，80）和[80，90）组高度分别为：16÷50÷10＝0.032和12÷50÷10＝0.024，∴频率分布直方图补充完整如下：21/21\n（2）与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能：（52，54），（52，56），（52，57），（54，56），（54，57），（56，57），∴此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的画法，考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）p：关于x的方程x2+（a﹣2）x+4＝0无解，q：2﹣m＜a＜2+m（m＞0）（1）若m＝5时，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．（2）当命题“若p，则q”为真命题，“若q，则p”为假命题时，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接利用函数的性质和真值表的应用求出参数的取值范围．（2）直接利用四个条件的应用和集合间的关系的应用求出结果．【解答】解：（1）命题p：关于x的方程x2+（a﹣2）x+4＝0无解，则：△＝（a﹣2）2﹣16＜0，解得：﹣2＜a＜6．命题：q：2﹣m＜a＜2+m（m＞0）由于m＝5，故：﹣3＜a＜7．由于“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故：①p真q假②p假q真，故：①，无解．②21/21\n解得：﹣3＜a≤﹣2或6≤a＜7，故：a的取值范围是：﹣3＜a≤﹣2或6≤a＜7．（2）命题“若p，则q”为真命题，“若q，则p”为假命题时，故命题p为命题q的充分不必要条件．故：命题p表示的集合A＝{a|﹣2＜a＜6}是命题q表示的集合B＝{a|2﹣m＜a＜2+m（m＞0）}的真子集．故：，解得：m≥4，当m＝4时：A＝B，故：m＞4．【点评】本题考查的知识要点：真值表的应用，四个条件的应用，集合间的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．（12分）企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的8%缴纳，年份20222022202220222022t12345y270330390460550某企业员工甲在2022年至2022年各年中每月所撒纳的养老保险数额y（单位：元）与年份序号t的统计如下表：（1）求出t关于t的线性回归方程；（2）试预测2022年该员工的月平均工资为多少元？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：（注：＝＝，＝，其中tiyi＝6440）【分析】（1）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（2）求出t的值，代入回归方程求出y的预报值，求出平均工资即可．21/21\n【解答】解：（1）＝3，＝390，＝＝59，∴＝﹣＝390﹣59×3＝213，故＝59t+213；（2）由题意得：t＝7，故＝59×7+213＝626，故2022年度月平均工资是626÷0.08＝7825（元）．【点评】本题考查了求回归方程问题，考查代入求值，是一道中档题．20．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2＝﹣4．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知点P（﹣1，k），且△PAB的面积为6，求k的值．【分析】（Ⅰ）设直线AB的方程为y＝k（x﹣），代入抛物线，消x，利用y1y2＝﹣4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求出P到直线AB的距离，|AB|，利用S△PAB＝，△PAB的面积为6，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）F（，0），设直线AB的方程为y＝k（x﹣），…（2分）代入抛物线，消x，得：ky2﹣2py﹣kp2＝0，…（4分）∴y1y2＝﹣p2＝﹣4，从而p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x．…（6分）（Ⅱ）由已知，F（1，0），直线AB的方程为y＝k（x﹣1），21/21\n代入抛物线方程，消x，得ky2﹣4y﹣4k＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝﹣4，…（8分）∴|AB|＝•＝4（1+）．又∵P到直线AB的距离d＝．…（10分）故△PAB的面积S＝＝6＝6．…（12分）故得k＝±．…（14分）【点评】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数y＝f（x）的单调区间．（2）当a＝3时，证明：对任意x＞0，都有f（x）≥2（1﹣x）成立．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝f（x）﹣2（1﹣x）＝x2+x﹣3lnx﹣2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝2x﹣（a﹣2）﹣＝，当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（2）a＝3时，令g（x）＝f（x）﹣2（1﹣x）＝x2+x﹣3lnx﹣2，则g′（x）＝2x+1﹣＝，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，21/21\n故g（x）min＝g（1）＝0，故g（x）≥0，即f（x）≥2（1﹣x）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F2（2，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得c的值，又由B在椭圆上，可得，由椭圆的几何性质计算可得a2、b2的值，即可得椭圆的方程；（2）假设存在这样的点P，设P（x0，0），E（x1，y1），联立直线与椭圆的方程，变形可得（1+2k2）•x2﹣8＝0，利用根与系数的关系用k表示、，由向量垂直与向量数量积的关系有，即可得答案．【解答】解：（1）依题意，椭圆右焦点为F2（2，0），c＝2，∵点在C上，∴，又∵a2＝b2+c2，∴a2＝8，b2＝4，∴椭圆方程为；（2）假设存在这样的点P，设P（x0，0），E（x1，y1），则F（﹣x1，﹣y1），联立直线与椭圆的方程，，解得21/21\n，，∴AE所在直线方程为，∴，同理可得，，，∴x0＝2或x0＝﹣2，∴存在点P，使得无论非零实数k怎么变化，总有∠MPN为直角，点P坐标为（2，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查椭圆的几何性质与标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．21/21
