2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为()A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i2．已知集合A={﹣1，}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则所有实数m组成的集合是()A．{0，﹣1，2}B．{，0，1}C．{﹣1，2}D．{﹣1，0，}3．已知p、q是两个命题，若“￢（p∨q）”是真命题，则()A．p、q都是真命题B．p、q都是假命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题4．已知向量，若与平行，则实数x的值是()A．﹣2B．0C．1D．25．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图给出了函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是()-22-\nA．①②③④B．①③②④C．②③①④D．①④③②7．若函数f（x）=log2x+x﹣k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，则k=()A．0B．2C．4D．68．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为()A．B．C．D．110．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a9+a11=30，那么S13值的是()A．65B．70C．130D．26011．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=()A．B．C．﹣D．﹣12．定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f′（x）＞f（x）•tanx成立．则()A．f（）＜f（）B．f（1）＜2cos1•f（）C．f（）＞2f（）D．f（）＞f（）-22-\n二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（文）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=__________．14．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于__________．15．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=__________．16．设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在上的值域．18．等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=（1）求an与bn；（2）求+．-22-\n19．某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0π2πxAsin（ωx+ϕ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．20．已知命题p：函数f（x）=x2+2ax+1在R上有零点，命题q：x2+3（a+1）x+2≤0在区间内恒成立，若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明＜k＜．选做题22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集；-22-\n（2）当a＜﹣，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．-22-\n2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为()A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．已知集合A={﹣1，}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则所有实数m组成的集合是()A．{0，﹣1，2}B．{，0，1}C．{﹣1，2}D．{﹣1，0，}【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】集合．【分析】根据集合A∩B=B得到，B⊆A，即可得到结论．【解答】解：∵A∩B=B，∴B⊆A，若m=0，则B=∅，此时满足条件．若m≠0，则B={}，则=﹣1或=，解得m=﹣1或m=2，综上所有实数m组成的集合是{0，﹣1，2}，故选：A．-22-\n【点评】本题主要考查集合的基本关系的应用，将条件A∩B=B转化为B⊆A是解决本题的关键．3．已知p、q是两个命题，若“￢（p∨q）”是真命题，则()A．p、q都是真命题B．p、q都是假命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】由复合命题真值表判断命题“p∨q”为假命题，进而得到命题p、q都是假命题．【解答】解：由复合命题真值表得：若“￢（p∨q）”是真命题，则p∨q为假命题，则命题p、q都是假命题．故选B．【点评】本题考查了复合命题的真假判定规律，对复合命题真值表要熟练掌握．4．已知向量，若与平行，则实数x的值是()A．﹣2B．0C．1D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．【专题】计算题．【分析】由题意分别可得向量与的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于x的方程，解之即可．【解答】解：由题意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x），因为与平行，所以3×（1﹣x）﹣（x+1）×（﹣1）=0，解得x=2故选D【点评】本题为向量平行的问题，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．-22-\n5．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】基本不等式．【分析】先画出函数y=与y=的图象，再讨论时a，b的情况即可．【解答】解：画出函数y=与y=的图象，当x＜0时，y=的图象在y=的图象下方，当x＞0时，y=的图象在y=的图象上方，当a＜0，b＜0时，则a＜b＜0，当a=b=0时，成立，当a＞0，b＞0时，则a＞b＞0，故①②⑤成立，③④不可能成立，故选B【点评】本题主要考查了指数函数单调性，以及指数函数的图象，属于基础题．-22-\n6．如图给出了函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是()A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．①④③②【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案．【解答】解：由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下，∴a﹣1＜0，即a＜1．又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1，∴y=ax为减函数，图象为①；y=logax为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②．∴与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④．故选B．【点评】本题考查了基本初等函数的图象和性质，是基础的概念题．7．若函数f（x）=log2x+x﹣k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，则k=()A．0B．2C．4D．6【考点】函数零点的判定定理．【专题】数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得f（2）f（3）＜0，解关于k的不等式可得．【解答】解：∵函数f（x）=log2x+x﹣k在区间（2，3）上单调递增，又∵函数f（x）=log2x+x﹣k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，∴f（2）f（3）＜0，即（3﹣k）（3+log23﹣k）＜0，解得3＜k＜3+log23，由k∈N可得k=4，故选：C．-22-\n【点评】本题考查函数零点的判定定理，涉及不等式的解法，属基础题．8．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．9．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为()A．B．C．D．1【考点】向量的共线定理．【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设则====（）∴∴故选A．-22-\n【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．10．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a9+a11=30，那么S13值的是()A．65B．70C．130D．260【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设公差为d，由于a1+a9+a11=30，可得a7=10，从而求得S13==13a7的值．【解答】解：设公差为d，由于a1+a9+a11=30，∴3a1+18d=30，∴a7=10，则S13==13a7=130，故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，通项公式，前n项和公式的应用，求出a7=10，是解题的关键，是基础题．11．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=()A．B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）的值．-22-\n【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．12．定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f′（x）＞f（x）•tanx成立．则()A．f（）＜f（）B．f（1）＜2cos1•f（）C．f（）＞2f（）D．f（）＞f（）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）cosx，求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．【解答】解：当x∈（0，），cosx＞0，则不等式f′（x）＞f（x）•tanx等价为f′（x）＞f（x）•，即cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，设g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，即函数g（x）在（0，）单调递增，则g（）＜g（），g（1）＞g（），g（）＜g（），g（）＜g（），即f（）＜f（），cos1f（1）＞f（），f（）＜f（），f（）＜f（），-22-\n则f（）＜f（），故A正确．2cosf（1）＞f（），故B错误．f（）＜2f（），故C错误．f（）＜f（），故D错误．故选A．【点评】本题主要考查函数的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（文）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=2．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模．【专题】计算题．【分析】由向量，满足•=0，||=1，||=2，知|2﹣|2=42+2﹣4•=42+2=4+2=6，由此能求出|2﹣|．【解答】解析：∵向量，满足•=0，||=1，||=2，∴|2﹣|2=（2﹣）2=42+2﹣4•=42+2=4+4=8，故|2﹣|=2．故答案为：2．【点评】本题考查平面向量的性质及其运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．14．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于或．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°-22-\n由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，正弦定理及“大边对大角”的定理，还考查了三角形的面积公式，在利用正弦定理求解三角形中的角时，在求出正弦值后，一定不要忘记验证“大边对大角”．15．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）=-22-\n==．故答案为：．【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．16．设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为∪．【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0即2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0，解不等式结合0≤α≤π可求α的取值范围．【解答】解：由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0∴sin2α≤，﹣≤sinα≤，∵0≤α≤π∴α∈∪．故答案为：∪．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在上的值域．【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．-22-\n【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；（Ⅱ）通过将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=•==A（）=Asin（2x+）．因为A＞0，由题意可知A=6．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，y=6sin=6sin（2x+）．的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象．因此g（x）=6sin（4x+）．因为x∈，所以4x+，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值﹣3．故g（x）在上的值域为．【点评】本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．18．等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=（1）求an与bn；（2）求+．-22-\n【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由题意，据b2+S2=12，{bn}的公比q=建立方程即可求得q，d，由公式求an与bn；（2）求+．要先求，根据其形式要选择裂项求和的技巧．【解答】解：（1）由已知可得解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴an=3n，bn=3n﹣1（2）证明：Sn=∴==∴==【点评】本题考查等差与等比数列的综合，考查了根据题设条件建立方程求参数的能力，以及根据所得的结论灵活选择方法求和的能力．求解本题的关键是对的变形．19．某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0π2πxAsin（ωx+ϕ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．-22-\n【分析】（1）由表中已知数据易得，可得表格和解析式；（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，可得对称中心．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：ωx+ϕ0π2πxAsin（ωx+ϕ）050﹣50∴函数的解析式为；（2）函数f（x）图象向左平移个单位后对应的函数是g（x）=5sin=5sin（2x+），其对称中心的横坐标满足2x+=kπ，即x=﹣，k∈Z，∴离原点最近的对称中心是【点评】本题考查三角函数解析式的确定和函数图象变换，涉及三角函数的对称性，属基础题．20．已知命题p：函数f（x）=x2+2ax+1在R上有零点，命题q：x2+3（a+1）x+2≤0在区间内恒成立，若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】化简命题得到：p为真时，a≤﹣1，a≥1．q为真时，a≤，命题“p且q”是假命题，分解为p，q一真一假，或都为假，判断即可得出答案．【解答】解：命题p：函数f（x）=x2+2ax+1在R上有零点，则△=4a2﹣4≥0，解得p为真时，a≤﹣1或a≥1．命题q：x2+3（a+1）x+2≤0在区间内恒成立，∴3（a+1）在区间内恒成立-22-\n﹣≤﹣（x+）≤﹣2只需3（a+1）≤﹣即可解得q为真时，a≤∵命题“p且q”是假命题，∴p，q一真一假，或都为假，当p真，q假时，﹣＜a≤﹣1，a≥1，当p假q真时，a∈∅当p，q都为假时，﹣1＜a＜1．综上实数a的取值范围为（，+∞，）【点评】本题考查了命题的真假，与不等式的解集，集合的关系，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明＜k＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，斜率为0，求出a即可．（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，然后求出函数的极值．（3）利用直线的斜率以及导函数的符号，证明即可．【解答】解：（1）依题意得：g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1…-22-\n（2）由（1）得g′（x）=+2x﹣3=∵函数g（x）的定义域为：（0，+∞），令g′（x）=0，得x=，或x=1．函数g（x）在（0，）上单调递增，在（）单调递减；在（1，+∞）上单调递增．故函数g（x）的极小值为g（1）=﹣2．…．（3）证明：依题意得⇒lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，令h（x）=lnx=kx，则h′（x）=，由h′（x）=0得：x=，当x＞时，h′（x）＜0，当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，又h（x1）=h（x2），x1＜＜x2，即＜k＜…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力．选做题22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）把消去θ化为普通方程，由极坐标方程ρ=﹣4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2=﹣4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（2）画出两圆，数形结合得到A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．-22-\n【解答】解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=．【点评】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题．23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集；（2）当a＜﹣，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入f（x）中，分“x≥2”“”“x≤”去掉绝对值符号进行讨论，化简不等式f（x）＜4，即得其解集；-22-\n对第（2）问，令g（x）=f（x）+x，因存在x≤﹣，使得f（x）+x≤3成立，即g（x）有解，只需min≤3，作出g（x）的图象，用a表示g（x）的最小值，解关于a的不等式即可得a的取值范围．【解答】解：（1）令|2x+1|=0，得；令|x﹣2|=0，得x=2．①当x≥2时，原不等式化为2x+1+x﹣2＜4，即x＜，得x∈∅；②当时，原不等式化为2x+1+2﹣x＜4，即x＜1，得；③当x≤时，原不等式化为﹣2x﹣1+2﹣x＜4，即x＞﹣1，得﹣1＜x≤．综合①、②、③，得原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a＜﹣，得g（x）=，由于存在x≤，使f（x）+x≤3成立，即g（x）≤3在（﹣∞，]内有解，只需min≤3即可．作出g（x）的大致图象，易知，min=g（a）=﹣a﹣1，∴﹣a﹣1≤3，得a≥﹣4．【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法，以及含参数的不等式有解问题的求解，关键是善于运用分类讨论思想及数形结合思想进行求解．（1）分类讨论时，同一类中取交集，类与类之间取并集．（2）常数m≥g（x）有解，只需m≥min；m≤g（x）有解，只需m≤max．-22-
