天长中学2022-2022学年度第一学期第二次段考高二理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设命题则为（）A.B.C.D.2.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为16，抽到的40人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为（）A.10B.18C.12D.283.已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为（）A.16，36B.22，6C.16，6D.22，364.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程.零件数x个1020304050加工时间y（min）62758189由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A．67B．68.2C．68D．67.25.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率（）A.B.C.D.6.设是两个不同的平面，为两条不同的直线，命题：若则；命题：则.则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．-10-\n7．“”是“方程表示椭圆”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8．执行右面的程序框图，若输入，则输出等于()A.1B.C.D．9．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为（）A.B.C.D.10、如图所示，在正方体中，已知分别是和上靠近点的三等分点，则与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.11、已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.12、已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（）A4B.2C.1D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置）13.如右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ．14．椭圆的两个焦点分别为过的直线交于两点，若，则弦长的值为________．15．如图，在平行六面体中，与的交点为点-10-\n.设，，，用，，表示向量，则＝___________16．焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）给定命题：对任意实数都有成立；：关于的方程有实数根．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）的内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，且成等差数列，求的面积.19．(本小题满分12分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的地理成绩，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6组：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图.(1)求成绩（单位：分）在[80，90)的学生人数;(2)由频率分布直方图估计学生地理成绩的众数和平均数;-10-\n(3)从成绩大于或等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩（单位：分）在[90，100]内的概率.20．（本小题满分12分）在圆上任取一点，点在轴的正射影为点，当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）点在曲线上，过点的直线交曲线于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值.21.（本小题满分12分）如图1所示，在等腰梯形中，.把沿折起，使得，得到四棱锥.如图2所示.（1）求证：面面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.-10-\n22.（本小题满分12分）设圆的圆心为，直线过点且不与轴、轴垂直，且与圆于，两点，过作的平行线交直线于点.（1）证明为定值，并求出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求与的面积之和的取值范围.-10-\n天长中学2022-2022学年度第一学期第二次段考高二理科试卷答案一、选择题1—6CBCAAC7—12CDBCCD二、填空题13.63；14．；15.；16．；.三、解答题17．【答案】试题解析：由题意可知，命题为真或，……3分命题为真，………5分故或，即.…10分18．【答案】（1）（2）.试题解析：（1）由，可得……………2分∴ ，……………3分即．………………5分（2）∵，由余弦定理，得………………6分又∵、、的值成等差数列，由正弦定理，得∴，解得．……………8分-10-\n由，得，……………10分∴△的面积．……12分19.【答案】（1）4（2）65,68.（3）试题解析：(1)因为各组的频率之和为1，所以地理成绩（单位：分）在区间[80，90)的频率为：1－(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1，……2分所以40名学生中成绩（单位：分）在区间[80，90)的学生人数为40×0.1=4.……3分（2）估计众数为……4分平均数为……6分(3)设A表示事件“在成绩大于或等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩（单位：分）在区间[90，100]内”，由已知和(1)的结果可知成绩（单位：分）在区间[80，90)内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d，成绩（单位：分）在区间[90，100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f.则选取学生的所有可能结果为:(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，基本事件数为15，……9分事件A的可能结果为:(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，基本事件数为9，所以..……12分20．（本小题满分12分）（1）（2）试题解析：（Ⅰ）设点坐标为，点的坐标为，则因为点在圆，所以①把代入方程①，得，即，所以曲线的方程为.……………………………………………………………4分-10-\n（Ⅱ）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，由消去，得，易知，得…………………………8分．所以为定值………………………………12分21.试题解析：（1）证明：在等腰梯形中，可知.因为，可得.又因为，即，则.又，可得面，故.又因为，则，，则，所以，又，所以面，又面，所以面面；………6分（2）设，过点作交于点，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.在中，∵，，∴，则，∵-10-\n，∴，∴，∴，设平面的法向量为，由，得，取，可得平面的法向量为，设平面的一个法向量为，由，得，取，可得平面的一个法向量为.设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………8分22.（1）圆，圆心，半径，如图所示.因为，所以.又因为，所以，所以，又因为，所以，故，可得，根据双曲线的定义，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线（顶点除外），易得点的轨迹方程为.………5分（2）.依题意可设，-10-\n由于，设.圆心到直线的距离，所以，又因为，解得.………7分联立直线与双曲线的方程，消去得，则，所以，………9分记的面积分别为，则，………11分又因为，所以，所以的取值范围为.………12分-10-
