2022-2022学年宁夏六盘山高级中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合,则A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查集合的基本运算.,,所以 2．下列函数中,满足“对任意的,当时,都有”的是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的单调性.因为对任意的,当时,都有，所以函数在上是减函数，由幂函数的性质可知，在上是减函数；由指数函数与对数函数的性质可知在上是增函数；易求在上是增函数，故答案为A.15/16\n 3．若,则A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查对数函数与三角函数，考查了逻辑推理能力.因为,所以由对数函数的性质可得,所以 4．已知,则A.-1B.C.D.1【答案】A【解析】本题主要考查同角三角函数关系式、二倍角公式.将两边平方可得，所以，又,所以,则,则. 15/16\n5．对任意的实数,若表示不超过的最大整数,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查新定义问题、充分条件与必要条件，考查了逻辑推理能力.由题意，当时，则,则，即必要性成立；令x=0.5，y=1.2，则，成立，但是，则，即充分性不成立，因此答案为B. 6．已知角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合,终边在直线上,则的值是A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查任意角的三角函数、二倍角公式，考查了分析问题与解决问题的能力.因为角的顶点与原点重合,始边与轴正半轴重合,终边在直线上,所以，则 7．在中,,则15/16\nA.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了计算能力.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=5,则,由正弦定理可得,求解可得 8．已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=A.-3B.-1C.1D.3【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值,考查转化思想和方程思想.求解此题的关键是用“-x”代替“x”,得出f(x)+g(x)=-x3+x2+1. 用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C. 9．已知命题,若是真命题,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的真假判断，考查了逻辑推理能力.15/16\n因为命题,所以是真命题，则,故答案为A. 10．如图曲线和直线所围成的图形(如图所示)的面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查定积分、曲多边形的面积，考查了计算能力.由题意可得阴影部分的面积S= 11．若在是减函数,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】C15/16\n【解析】本题主要考查导数与函数的性质，考查了恒成立问题与转化思想.在上恒成立，即在上恒成立，又因为,所以，故答案为C. 12．对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【答案】A【解析】本题主要考查二次函数的零点、极值等,意在考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.由A知a-b+c=0;由B知f'(x)=2ax+b,2a+b=0;由C知f'(x)=2ax+b,令f'(x)=0可得x=-,则f(-)=3,则=3;由D知4a+2b+c=8.假设A选项错误,则,得,满足题意,故A结论错误.同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意,故选A.二、填空题：共4题13．如图,勘探队员朝一座山行进,在前后两处观察山顶的仰角是30度和45度,两个观察点之间的距离是,则此山的高度为 (用根式表示).15/16\n【答案】【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了分析问题与解决问题的能力.由题意可得,，求解可得h= 14．已知指数函数,对数函数和幂函数的图形都过,如果,那么 .【答案】【解析】本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数以及求值.设,和,因为这三个函数的图像都过点，求解可得,和,因为,所以，所以 15/16\n15．将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数为奇函数,则的最小值为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可得,是奇函数，所以,则,因为，所以当k=0时，取得最小值为 16．已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】本题主要考查新定义问题、函数的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与数形结合思想.根据“对称函数”的定义可知，,即,若恒成立，则等价于,即恒成立，设,作出两个函数的图像如图所示，直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=,|b|-,-10..=2,即=2,-10.,所以=2,-10.或=-2,-10.(舍去),即要使恒成立，则>2,-10.即,实数b的取值范围是.15/16\n三、解答题：共7题17．已知函数.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数在区间上的最大值及取得最大值时相应x的值.【答案】(1),所以(2)15/16\n当,即时,【解析】本题主要考查两角和与差公式、二倍角公式、三角函数的性质，考查了转化思想与计算能力.(1)化简,由三角函数的性质求解即可；(2)由题意可得，结合正弦函数的性质求解即可. 18．在中,角所对的边分别是,已知.(1)求角的大小.(2)若,求的取值范围.【答案】(1)由已知得:,即有..又又.(2)由余弦定理:15/16\n,又,即:.【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)由,展开化简可得，由，再化简，即可求得结果；(2)利用余弦定理，结合,可得,又，则结论易得. 19．已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.【答案】(Ⅰ)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-).令f'(x)=0得,x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)单调递增,在(-2,-ln2)单调递减.15/16\n当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).【解析】本题主要考查导数的基本知识,利用导数判断函数单调性、求极值.第(Ⅰ)问求a,b两个未知量,需要列两个方程,注意到点(0,f(0))既在函数f(x)的图象上,又在切线上,切线的斜率就是导函数在切点处的值,可列两个方程.第(Ⅱ)问在第(Ⅰ)问的基础上求导,判断导函数的正负,然后求解.本题是常规题,求导正确是基础.【备注】【易错点拨】利用导数求极值或最值问题,书写要规范,解答要清楚. 20．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,为图象与x轴的交点,且为正三角形.(1)求函数的值域及的值.(2)若,且,求的值.【答案】(1)由已知可得所以函数的值域为.因为正三角形的高为,所以,则函数的周期,所以.15/16\n(2),由(1)有:又,则故【解析】本题主要考查两角和与差公式、三角函数的性质与求值，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)化简，易得函数的值域，由为正三角形，可得了周期，即可求得值；(2)由题意可得，结合的取值范围求出，整理，再利用两角和与差公式展开求解即可. 21．已知函数.(1)证明:当时,;(2)证明:当时,存在,使得对任意的,恒有.15/16\n【答案】(1)令,则有当时,,所以在上单调递减,故当时,,即当时.(2)令,则有当时,,故在单调递增,,故对任意正实数均满足题意当时,令,得,取,对任意,有,从而在单调递增,所以,即.综上,当时,总存在,使得对任意,恒有.【解析】本题主要考查导数与函数的性质，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)令,求导并判断函数的单调性，求出函数的最大值，即可证明结论；(2)令，,求导，分、两种情况讨论函数的单调性，即可证明结论. 15/16\n22．已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为,(为参数).(1)求直线与曲线的直角坐标方程.(2)设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任一点为,求的最小值.【答案】(1)直线的方程为:,曲线的直角坐标方程为:(2)因为,所以,代入得设椭圆的参数方程为,(为参数),则.所以得最小值为4.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、图像变换、三角函数.(1)消去参数t可得直线l的普通方程；利用公式化简可得曲线C的直角坐标方程；(2)由图像变换可得曲线，化为参数方程,(为参数),由题意可得，化简易得结论.15/16\n 23．已知函数,不等式的解集为.(1)求的值.(2)实数满足,求证:.【答案】(1)由函数、方程、不等式的关系可知和是方程的根,所以,解得:(2)由(1)知,,所以所以:.【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、柯西不等式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)利用绝对值的几何意义求解即可；(2)化简，再利用柯西不等式证明即可.15/16
