第六次月考数学理试题【天津版】一、选择题（每题5分，共8道）1、设复数z1=1+i,z2=2+bi,若为纯虚数,则实数b=( )A.-2 B.2 C.-1 D.12、不等式组表示的平面区域是( )3、已知,,则( )A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a4、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )A.7 B.9 C.10 D.115、已知双曲线C的离心率为2,焦点为,点A在C上.若||=2||,则cos∠=( )A. B. C. D.6、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD的四个侧面中的最大面积是( )10A.3 B.8 C. D.6；7、已知正项等比数列{an}满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )A. B. C. D.不存在8、已知定义在R上的函数y=f(x)对于任意的x都满足f(x+1)=-f(x),当-1≤x<1时,,若函数至少有6个零点,则a的取值范围是( )A.∪(5,+∞) B.∪[5,+∞) C.∪(5,7) D.∪[5,7)二、填空题（每题5分，共6道）9、某地区有小学150所，中学75所，大学25所。现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取60所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.10、如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.11、若,则二项式的展开式中常数项是________.12、已知直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则直线被圆所截得的弦长等于.13、已知，，当“x”是“x”的充分不必要条件，则的取值范围是.14、在的边、上分别取、，使，，与10交于点，若，，则.三、解答题15、（13分）已知△ABC的内角为A、B、C,其对边分别为a、b、c,B为锐角,向量,且.(1)求角B的大小;(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.16、（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从该市市区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从这15天的PM2.5监测数据中,随机抽取三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽取PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级? PM2.5日均值(微克/立方米)285 371434456387986392517、（13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;10(2)求B点到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18、（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn,且.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值;(3)设,是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.19、（14分）椭圆E:(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为;抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点,与E交于A,B,与G交于C,D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程;(2)是否存在常数λ,使为常数,若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.20、（14分）已知函数f(x)=elnx,g(x)=lnx-x-1,h(x)=x2.(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:存在x0∈(1,+∞),使g(x0)=g;10(3)对于函数f(x)与h(x)定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,则称直线y=kx+b为函数f(x)与h(x)的分界线.试探究函数f(x)与h(x)是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题：题号12345678答案ABCBADAA二、填空题：9、36，1810、511、12、413、14、12三、解答题：1015、[详细分析]（1）//（为锐角）（2）由得∵，∴.∴即的最大值为.16、[详细分析]（1）记“从15天的PM2.5监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，（4分）（2）依据条件，服从超几何分布：其中，，，的可能值为0,1,2,3,（0，1,2,3）（7分）其分布列为：0123（10分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为（11分）设一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则.∴，∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级.（13分）17、[详细分析]（1）在中,,为中点，所以，又侧面底面，平面平面，平面，所以平面.又在直角梯形中，连结，易得，所以以为坐标原点，直线为10轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，易证平面，∴是平面的法向量，.∴直线与平面所成角的余弦值为.（2）,设平面的一个法向量为，则，取，得.∴点到平面的距离.（3）存在.设（）,∵,∴，∴，∴.设平面的一个法向量为，则，取，得.又平面的一个法向量为，∵二面角的余弦值为，∴，得，解得或（舍）,∴存在点，使得二面角的余弦值为，且.18、[详细分析]（1）设、的公共焦点为，由题意得，10故，，.（2分）∴椭圆：，抛物线：.（4分）（2）存在.设，，，.直线的方程为，与椭圆的方程联立得化简得，.，（6分）（7分）.直线的方程为与抛物线的方程联立得化简得，（9分）.（11分）,要使为常数，则，得,故存在,使为常数.（14分）19、[详细分析]（1）当时，，（1分）当时，（2分）而当时，，∴（）.（4分）10（2），∴.（7分）∵，∴单调递增，.（8分）令，得，所以.（10分）（3）当为奇数时，为偶数，∴，.（12分）当为偶数时，为奇数，∴，（舍去）综上，存在唯一正整数，使得成立.（14分）20、[详细分析]（1）（）.（1分）令，解得；令，解得.（2分）∴函数在内单调递增,在上单调递减.（3分）∴的极大值为（4分）（2）由（1）知在上单调递减，令，则在上单调递减.，（5分）取，则.（6分）故存在，使，即存在，使.（7分）（说明:的取法不唯一,只要满足,且即可）（3）设（）,10则，当时,,函数单调递减；当时，，函数单调递增.∴是函数的极小值点，也是最小值点，即.∴函数与的图象在处有公共点.（9分）设与存在“分界线”且其方程为，令函数，①由，得在上恒成立，即在上恒成立，∴，即，∴，故.（11分）②下面说明：，即（）恒成立.设，则.∵当时,，函数单调递增，当时，，函数单调递减,∴当时，取得最大值，.∴（）恒成立.（13分）综合①②知，且，故函数与存在“分界线”,且，.（14分）10
