雅安中学2022-2022学年高二上期11月半期考试数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题：60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2、若不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a+c的值为（ ）A．5B．﹣5C．7D．﹣73、二次不等式4、已知点在不等式组表示的平面区域内运动，则的最大值是()A．B．C．2D．35、设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）AB．C．D．6.已知是不重合的直线，是不重合的平面，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则7、如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（ ）A．B．C．2D．7\n8.已知点若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D. 9、若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则的最小值为（ ）A．4B．12C．16D．610、将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（ ）A．90°B．60°C．45°D．30°11过点Q（2，4）引直线与圆x2+y2=1交于R，S两点，那么弦RS的中点P的轨迹为（ ）A．圆（x+1）2+（y+2）2=5B．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5C．圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的一段弧D．圆x2+y2+2x+4y=0的一段弧12已知点P（t，t），t∈R，点m是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是（ ）A．B．2C.3D．14题图图第Ⅱ卷（非选择题：90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为 ．14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是.15．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则的最大值是。16、如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). 16题图①当0<CQ<时，S为平行四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当CQ=1时，S的面积为。三．解答题（本大题共6小题，共70分）7\n17（本小题满分10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．18．(本小题满分12分)右图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，．（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求与平面所成的角的正弦值；18题图19、(本小题满分12分)如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离.19题图7\n20、(本小题满分12分)三角形ABC的三个顶点A（1,3）B（1，﹣3）C（3，3），求（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程；（Ⅲ）已知圆O2：,求圆心在x-y-4=0,且过圆O1与圆O2交点的圆的方程。21．(本小题满分12分)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（Ⅰ）若＝，求及直线MQ的方程；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．22.(本小题满分12分)若圆经过坐标原点和点，且与直线相切，从圆外一点向该圆引切线，为切点，（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）已知点，且，试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线与轴的交点为，点是直线上两动点，且以为直径的圆过点，圆是否过定点？证明你的结论．7\n雅安中学高2022—2022学年高二年级上期期中考试数学试题答案（理科）一、选择题：123456789101112CDDCBABADBCB二、填空题1314301516②④三．解答题（共9小题）17解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}={x|m﹣3≤x≤m+3}（1）由于B={x|m﹣3≤x≤m+3}故当m=3时，B={x|0≤x≤6}∴A∩B=[0，3]（2）由于集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}∵18．（1）证明：作交于，连．则，因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有，平面，且平面；则面．（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，作于，因为平面平面，则面．连结，则就是与面所成的角．因为，，所以．19（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA.又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.又∵PA=AD，∴∠PDA=450.7\n（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，由，有，即，得20解：（1）设BC的中点为D，由中点坐标公式得：D（2,0），所以AD所在直线的斜率为k=—3所以AD所在直线的方程为y-3=-3(x-1)，即3x+y-6=0(2）由题知直线AB的斜率不存在，直线BC的斜率为0，故三角形ABC是角A为直角BC为斜边的直角三角形；由（1）知，线段BC上的中点D（2,0），所以圆O1的圆心坐标（2,0）半径；三角形ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x-6=0或．（3）方法一：设经过两圆交点的圆系方程为即又圆心在直线x-y-4=0上，所以则方法二：所以两圆的交点分别为A（-1，-1），B（3,3），线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y-1=-(x-1)所以所求圆的圆心为（3，-1），半径为4所以所求圆的方程为21．解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，7\n得|MP|＝＝.(2分)又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.(4分)设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．(6分)从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(8分)(2)设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以MQ为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.(12分)22.（Ⅰ）设圆心由题易得半径，得，所以圆的方程为（Ⅱ）由题可得，所以所以整理得所以点总在直线上（Ⅲ）由题可设点，，则圆心，半径从而圆的方程为整理得又点在圆上，故得所以令得，所以或所以圆过定点和7
