雅安中学2022-2022学年高二下期半期试题数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.设集合则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是()ABCD3．复数的共轭复数是()ABCD4.若则＞0的解集为()ABCD5.已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）为三角形的三个顶点，则ΔABC为()A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰三角形6．某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A4种B10种C18种D20种7．下列说法错误的是( )A命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C若p且q为假命题，则p、q均为假命题D命题p：“∃x0∈R使得x＋x0＋1<0”，则p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”8．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )A1BCD9.已知抛物线C:的焦点为F，直线与C交于A,B两点，则COS∠AFB=()-8-\nABC—D—10．在ΔABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()AB1C2D2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题 本大题共5个小题，每小题5分，共25分11．设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________12．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，那么的方程为.13．某中学教学楼二楼到三楼有一段楼梯共13阶，某同学在上楼时一步可上1阶或2阶，若该同学想用10步走完这一段楼梯，那么这位同学共有_________种不同的走法.（请用数字作答）14.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．15．下列命题：①若f(x)存在导函数，则f′(2x)＝[f(2x)]′；②若函数h(x)＝cos4x－sin4x，则h′＝0；③若函数g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－2010)(x－2011)，则g′(2011)＝2010！；④若三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则“a＋b＋c＝0”是“f(x)有极值点”的充要条件．其中假命题为________．三、解答题本大题共6小题，共75分16．（12分）如图，命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”.（1）写出上述命题的逆否命题并判断其真假；（2）写出上述命题的逆命题，判断其真假并证明.-8-\n17．（12分）赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？18．（12分）已知，讨论函数的单调性.19．（12分）图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．20（13分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.-8-\n21（14分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中国^教育出版&网~]（1）若对一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；[z（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1,f(x1)）,B(x2,f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.雅安中学2022-2022学年高二下期半期试题数学参考答安（理科）一选择题（1-10*5=50分）ABCDABCBDA8．提示：曲线上的点P到直线的最短距离，就是与直线y＝x－2平行且与y＝x2－lnx相切的直线上的切点到直线y＝x－2的距离．过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，x－lnx0)，则k＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝＝二填空题（11-15*5=25分）11．112.13.12014.15.①②④ [f(2x)]′＝f′(2x)(2x)′＝2f′(2x)，①错误；h′(x)＝4cos3x(－sinx)－4sin3xcosx＝－4sinxcosx＝－2sin2x，则h′＝－1，②错；f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，只需b2－3ac>0即可，a＋b＋c＝0是b2－3ac>0的充分不必要条件，④错．三．解答题（75分）16．解答略-8-\n17．解 分三类：第一类2人只划左舷的人全不选，有CC＝100(种)；第二类2人只划左舷的人中只选1人，有CCC＝400(种)；第三类2人只划左舷的人全选，有CCC＝175(种)．所以共有CC＋CCC＋CCC＝675种18．解：=，设，令，得，.①当时，<，，与的变化情况如下：（，-1）-1（-1，）-0+0-↘极小值↗极大值↘∴在区间，上是减函数，在区间上是增函数.②当=3时，=，在区间，上，，即<0，∴在区间上是减函数.③当时，>，，与的变化情况如下：-1（-1，）（，）-0+0-↘极小值↗极大值↘∴在区间，（，）上是减函数，在区间（-1，）上是增函数.19．(1)证明 连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点.ＯＢ、ＯＣ、ＯＳ分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．设底面边长为a，则高SO＝a.于是S(0,0，a)，D，-8-\nC，B，∴＝，＝，∴·＝0.故OC⊥SD，因此AC⊥SD.(2)解 由题意知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，设所求二面角为θ，则cosθ＝＝，故所求二面角P—AC—D的大小为30°.(3)解 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且＝，而＝，＝，设＝t，则＝＋＝＋t＝.由＝0，得t＝，即当SE∶EC＝2∶1时，ＢＥ⊥ＤＳ.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.20．1）由对称性知：是等腰直角，斜边点到准线的距离圆的方程为（2）由对称性设，则点关于点对称得：得：，直线-8-\n切点直线坐标原点到距离的比值为.21．解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当 . ①令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，的取值集合为.（Ⅱ）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即-8-\n从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.-8-
