德阳五中高2022级高二秋期第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数的定义域为 A.B.C.D.2.下列各组几何体中，都是多面体的一组是 A.三棱柱、四棱台、球、圆锥B.三棱柱、四棱台、正方体、圆台C.三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥D.圆锥、圆台、球、半球3.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为 A.22B.C.D.114.已知且，则k的值为 A.5B.C.D.2255.已知，则函数的值域为 A.B.C.D.6.已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为 A.B.C.D.7.过点，且与原点距离最大的直线方程是 A.B.C.D.8.设数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列，则 A.1008B.1010C.2022D.20229.若实数x，y满足，则的取值范围是 A.B.C.D.10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 13A.B.C.D.21.已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 A.B.C.D.2.已知两定点，，若动点P满足，则P的轨迹为 A.直线B.线段C.圆D.半圆二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）3.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．4.设，，若，则的最小值为______．5.函数，的所有零点之和为______．6.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：是周期为4的周期函数；的图象关于点对称；是偶函数；的图象经过点其中正确论断的序号是______请填上所有正确论断的序号．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）7.已知直线：，过定点P．求定点P的坐标；若直线与直线：平行，求k的值并求此时两直线间的距离．131.设．求的单调递增区间；在锐角中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求面积的最大值．2.设二次函数的最小值为，且满足．求的解析式；解不等式．3.已知向量，，记．Ⅰ求的单调递减区间；Ⅱ若，求 的值；Ⅲ将函数的图象向右平移个单位得到的图象，若函数在上有零点，求实数k的取值范围．4.已知数列的前n项和为，且是与2的等差中项，数列中，，点在直线上．求和的值；求数列，的通项和；设，求数列的前n项和．131.已知直线l：，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方求圆C的方程；设过点的直线被圆C截得的弦长等于，求直线的方程；过点的直线与圆C交于A，B两点在x轴上方，问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13答案和解析【答案】1.C2.C3.D4.B5.B6.B7.A8.B9.B10.B11.D12.C13. 14.9 15.8 16. 17.解：直线：，可得，，，；直线与直线：平行，则，解得或3，时，两条直线重合；时，直线：，直线：，两直线间的距离． 18.解：．化简可得：，由，．可得：，函数的单调递增区间是：，由，即，可得，，．由余弦定理：，可得．，当且仅当时等号成立．，．面积的最大值．故得三角形ABC面积最大值为． 1319.解：，函数的对称轴，由题意不妨设函数的表达式为：，将代入表达式得：，解得：，故；由，对称轴，在递增，而，，，，解得：或． 20.解：Ⅰ，由，求得，所以的单调递减区间是Ⅱ由已知得，则，．．Ⅲ将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则函数．，所以，．若函数在上有零点，则函数的图象与直线在上有交点，所以实数k的取值范围为 21.解：是与2的等差中项，解得，解得，，又，，，13，即数列是等比数列，，点在直线上，，，即数列是等差数列，又，，，因此：，即：， 22.解：设圆心，直线l：，半径为2的圆C与l相切，，即，解得：或舍去，则圆C方程为；由题意可知圆心C到直线的距离为，若直线斜率不存在，则直线：，圆心C到直线的距离为1；若直线斜率存在，设直线：，即，则有，即，此时直线：，综上直线的方程为或；当直线轴，则x轴平分，若x轴平分，则，即，，整理得：，即，解得：，当点，能使得总成立． 【解析】1.【分析】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数，，解得且；函数y的定义域为．故选C13．2.解：因为球与圆锥、圆台是旋转体，所以选项A、B、D，都含有旋转体，所以不正确；选项C：三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥，都是多面体，故选：C．判断选项中没有旋转体的选项，并且满足多面体的定义的一组即可．本题考查多面体的判断，旋转体与多面体的区别，是基本知识的考查．3.【分析】本题考查了等差数列和根与系数的关系应用问题，是基础题目根据等差数列和根与系数的关系，求出的值，再求的前11项和．【解答】解：等差数列中，若，是方程的两根，则，，的前11项的和为．故选：D．4.【分析】本题主要考查对数的运算性质、以及换底公式的应用，同时考查了运算求解能力．先根据指数式与对数式互化关系表示出m、n，然后代入，利用对数的运算性质求解．【解答】解：，，，则，．故选B．5.解：由题意可得：，因为，所以，所以，所以：．故选：B．根据两角和与差的正弦公式可得：，再根据题意可得，然后利用正弦函数的图象可得13，进而得解．本题主要考查了正弦函数的有关性质，即值域与定义域解题的关键是利用两角和与差的正弦公式，对函数解析式进行正确化简，以及对正弦函数的性质的熟练运用，属于基础题．6.【分析】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，基础题目．利用平面向量投影的定义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小．【解答】解：记向量与向量的夹角为，在上的投影为．在上的投影为，，，．故选B．7.解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为，所以由点斜式方程得：，化简得：，故选：A．数形结合得到所求直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．本题考查直线方程的求解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程，属基础题．8.解：数列是单调递增的等差数列，且，，成等比数列，，，解得舍或，．故选：B．利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第2022项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．139.【分析】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则设，则z的几何意义是区域内的P点与点的斜率k；如图所示，，则的取值范围是故选B．10.解：由三视图可得直观图，再四棱锥中，最长的棱为PA，即，故选：B．根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．11.解：点，，过点的直线L与线段AB有公共点，直线l的斜率或，13的斜率为，PB的斜率为，直线l的斜率或，故选：D．根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．12.解：设P点的坐标为，、，动点P满足，，平方得，即．的轨迹为圆．故选：C．设P点的坐标为，利用两点间的距离公式表示出、，代入等式，化简整理得答案．本题考查动点的轨迹的求法，着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程，属于中档题．13.解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为：．则球O的表面积为：．故答案为：．求出球的半径，然后求解球的表面积．本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14.【分析】由题意可得且，整体代入可得，由基本不等式可得本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．【解答】解：，，且，且，，当且仅当时取等号，结合可解得且，故所求最小值为9．故答案为9．15.【分析】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．设，则，原函数可化为，由于是奇函数，观察函数与13的图象可知，在上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而的值．【解答】解：设，则，原函数可化为：，，其中，，因，故是奇函数，观察函数红色部分与曲线 蓝色部分的图象可知，在上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即，从而，故答案为8．16.解：由可知函数周期为4，由是奇函数关于原点对称，可知关于对称，即，，所以函数为偶函数，，无法判断其值．综上，正确的序号是：．故答案为：．求出函数的周期，判断出函数的奇偶性，从而求出答案即可．本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查函数平移变换等知识在阅读题目的时候，采用逐句转化的方法，即读到“”时，将其转化为函数的周期为413，这个要记住小结论，即若，，则函数为周期函数，且周期为向左平移1个单位后得到，这是函数变换的知识．17.直线：，可得，即可求定点P的坐标；利用两条直线平行的条件，求出k，利用两直线间的距离公式可得结论．本题考查直线过定点，考查两条直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18.利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；根据，求出，可得，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc的值，可得面积的最大值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．19.求出的对称轴，设出函数的表达式，由待定系数法求出函数的解析式即可；根据函数的单调性结合和的范围得到关于t的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．20.Ⅰ两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，求的单调递减区间；Ⅱ由题意，利用诱导公式求得的值．Ⅲ利用的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，求得实数k的取值范围．本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21.先利用是与2的等差中项把1代入即可求，再把2代入即可求的值；利用，可得，两式作差即可求数列的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列，直接利用点在直线上，代入得数列是等差数列即可求通项；先把所求结论代入求出数列的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．本题考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列考查计算能力．22.设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；根据垂径定理及勾股定理，由过点的直线被圆C截得的弦长等于，分直线斜率存在与不存在两种情况求出直线的方程即可；当直线轴，则x轴平分，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为，联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分，则，求出t的值，确定出此时N坐标即可．此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．13
