扶余市第一中学2022--2022学年度上学期期中试题高二数学（理）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。第I卷（60分）注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3．本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。一、（共60分，每小题5分）1．已知命题p:若θ=150°,则sinθ=,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤13.给定两个命题p,q,若﹁p是q的必要而不充分条件,则p是﹁q的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知椭圆，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．85.抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．6.若双曲线的离心率为，则实数等于（）-9-\nA.B.C.D.7.长方体中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线A1D与BE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8.已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°9.曲线上的点到直线的最短距离是( )A.B.C.D.10.已知是上的单调增函数,则的取值范围是( )A.B.C.或D.或11.当时,函数的图象大致是( )A.B.C.D.12.已知奇函数是定义在上的连续可导函数,其导函数是,当时,恒成立,则下列不等关系一定正确的是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）-9-\n13．动圆经过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是____________.14.已知函数在处的切线倾斜角为,则。15.若命题“存在实数x0∈[1,2],使得ex+x2+3-m<0”是假命题,则实数m的取值范围为______.16.若方程所表示的曲线为,则下面四个命题（）。①若为椭圆,则,②若为双曲线,则或;③曲线不可能是圆;④若为椭圆,且长轴在轴上,则其中真命题的序号是__________.三、解答题：(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).17．（本小题满分10分）已知抛物线与直线交于两点.(1)求弦的长度；(2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标.18.（本小题满分12分）已知函数，当时，的极值为3。（1）求的值（2）求的单调区间19．（本小题满分12分）-9-\n如图,四棱柱中,侧棱底面,,,,,为棱的中点.1）证明;2）求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率,并且经过定点1）求椭圆E的方程2）问是否存在直线,使直线与椭圆交于两点,满足,若存在,求值,若不存在，说明理由。21．（本小题满分12分）已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论-9-\n22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx－.(1)判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.-9-\n高二数学期中试题参考答案1—12BCADCBAAAABC13．14．015.16.②17.(1)设、,由得,解方程得或，∴、两点的坐标为、∴.(2)设点,点到的距离为,则,∴··=12，∴.∴，解得或∴点坐标为或.18.解：（1），故。（2）由，得，由，得或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间。191）如图,以点为原点建立空间直角坐标系,依题意得,,,,,.证明:易得,,-9-\n于是,所以.2）.设平面的法向量为,则即,消去,得,不妨令,可得一个法向量为.由1问知,,又,可得平面,故为平面的一个法向量.于是,从而,所以二面角的正弦值为.20.1)因为经过点所以,又因为椭圆的离心率为所以所以椭圆的方程为:2)设,(*)-9-\n所以,由得又方程(*)要有两个不等实根,的值符合上面条件,所以21.(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC的边长为a,则A,B,C,E,F,设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则取n=(3,-,3).又因为,于是cos<,n>==-,因此直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于.(2)假设在线段BC上存在一点,使AP⊥DE,令=λ,即=λ,则P,于是.-9-\n因为AP⊥DE,所以=0,即=0,则λa2-a2=0,解得λ=.故线段BC上存在一点P,使AP⊥DE.22.(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且f′(x)＝＋＝.当a0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.当a<0,令f′(x)>0，故f(x)在(－a,＋∞)上是单调递增函数，(－∞,－a)上综上所述，。。。。。。。。。。。。(2)由(1)可知：f′(x)＝①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去).②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.综上可知：a＝－.-9-
