2022—2022学年度吉林一中“教与学”质量检测1高三数学试题(理科)(答题时间120分钟,满分150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知集合,,则集合A.B.C.D.2.已知向量,若,则等于A.B.C.D.3.若命题:,则:A.B.C.D.4.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为A.akmB.akmC.2akmD.akm5.某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内应为A.k>5?B.k>4?C.k>7?D.k>6?6.过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围为A.或B.C.或 D.或7.若,若的最大值为,则的值是A. B. C. D.8.函数,若,则下列不等式一定成立的是A.B.C.D.-9-9.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是A.B.C. D.10.已知等比数列的公比且,又,则A.B.C.D.11.已知椭圆,为其左、右焦点,为椭圆上任一点,的重心为,内心,且有(其中为实数),椭圆的离心率A.B.C. D.12.已知函数,其导函数为.①的单调减区间是;②的极小值是;③当时,对任意的且,恒有④函数有且只有一个零点.其中真命题的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题5分,共20分)13.设(其中e为自然对数的底数),则的值为_________.14.在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在双曲线上,则为___________. -9-15.设是不等式组表示的平面区域内的任意一点,向量,若,则的最大值为.16.已知函数,若数列满足(),且是递增数列,则实数的取值范围是___________.三、解答题17.(本小题满分10分)已知是函数图象的一条对称轴.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)化简的解析式,并作出函数在上的图象简图(不要求写作图过程).18.(本小题满分12分)已知等差数列{}的公差,它的前n项和为,若,且成等比数列,(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)若数列{}的前n项和为,求证:.19.(本小题满分12分)在中,内角、、所对的边分别为,其外接圆半径为6,,-9-(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积的最大值.20.(本小题满分12分)在直角坐标系中,以原点为圆心的圆与直线相切.(Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)若已知点,过点作圆的切线,求切线的方程.21.(本小题满分12分)已知函数的图象在点处的切线方程为.(Ⅰ)用表示出,;(Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范围.22.(本小题满分12分)已知椭圆:的一个焦点为,左右顶点分别为,.经过点的直线与椭圆交于,两点.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)当直线的倾斜角为时,求线段的长;(Ⅲ)记与的面积分别为和,求的最大值.数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题1.D;2.D;3.A;4.D;5.B;6.D;7.A;8.A;9.C;10.A;11.A;12.C.二、填空题13.;14.;15.5;16.(2,3).三、解答题17.(本小题满分10分)解:(I)方法1:,………………2分∵是函数图象一条对称轴,∴,……………4分即,∴;………………6分-9-方法2:∵,∴最值是,………………2分∵是函数图象的一条对称轴,∴,………………4分∴,整理得,∴;………………6分(II)………………7分在上的图象简图如下图所示.………………10分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由已知,,………………2分又成等比数列,由且可解得,………………4分,故数列{}的通项公式为;………………6分-9-(Ⅱ)证明:由(Ⅰ),………………7分,………………9分显然,.………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)解:,………………3分,……………………6分(Ⅱ),即.又.………………………………8分.……………………10分而时,.…………………………………………12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2=r2,…………………………1分由题可知,半径即为圆心到切线的距离,故r==2,……………………3分∴圆的方程是x2+y2=4;………………………………4分(Ⅱ)∵|OP|==>2,∴点P在圆外.显然,斜率不存在时,直线与圆相离.……………………………6分故可设所求切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0.……………………………8分又圆心为O(0,0),半径r=2,-9-而圆心到切线的距离d==2,即|3k-2|=2,………………9分∴k=或k=0,…………………………………11分故所求切线方程为12x-5y-26=0或y-2=0.……………………12分21.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ),………………………………………1分由题设,则有,…………………………3分解得.………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令,则,………………………………………5分……………7分①当,若,则,是减函数,所以,当时,有,即,故在上不能恒成立.……………………………9分②当时,有若,则,在上为增函数.所以,当时,,即,故当时,.……………………………………11分-9-综上所述,所求的取值范围为……………………12分22.(本小题满分12分)解:(I)因为为椭圆的焦点,所以又所以所以椭圆方程为…………………………3分(Ⅱ)因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到…………………………5分所以所以…………………………6分(Ⅲ)当直线无斜率时,直线方程为,此时,面积相等,…………7分当直线斜率存在(显然)时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然,方程有根,且………………8分此时………………………………10分因为,上式,(时等号成立)所以的最大值为………………………………12分-9-另解:(Ⅲ)设直线的方程为:,则由得,.设,,则,.………………8分所以,,,……………………10分当时,.由,得.当时,从而,当时,取得最大值.…………………………12分-9-