北京市西城区（北区）2022－2022学年下学期高二期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.是虚数单位，若复数满足，则等于A.B.C.D.2.甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是A.B.C.D.3.函数的图象在点（2，）处的切线方程是A.B.C.D.4.从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有A.9个B.10个C.11个D.12个5.设函数的导函数为，若为奇函数，则有A.，B.C.D.6.已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与轴所围成的封闭图形的面积等于10\nA.B.C.D.7.将4名男生和4名女生随机地排成一行，那么有且只有2名男生相邻的概率是A.B.C.D.8.已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，。则实数的取值范围是A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9.的二项展开式中的常数项为__________。（用数字作答）10.如果函数，那么__________。11.已知某随机变量X的分布列如下（）：X1－1P且X的数学期望，那么X的方差D（X）＝__________。12.已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数__________。13.有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有__________种不同的组队方法。（用数字作答）14.设函数，其中，且，给出下列三个结论：①函数在区间（）内不存在零点；10\n②函数在区间（）内存在唯一零点；③设为函数在区间（）内的零点，则。其中所有正确结论的序号为__________。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响。（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率。16.（本小题满分13分）设函数，且，其中，2，3，…。（I）计算的值；（II）猜想数列的通项公式，并用数字归纳法加以证明。17.（本小题满分13分）已知函数。（I）求函数的单调区间；（II）设，求函数在区间上的最小值。18.（本小题满分13分）箱中装有4个白球和个黑球。规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等。记随机变量X为取出的3个球所得分数之和。（I）若，求的值；（II）当时，求X的分布列和数字期望E（X）。19.（本小题满分14分）请先阅读：10\n设平面向量，且与的夹角为，因为，所以。即，当且仅当时，等号成立。（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意，，，，都有成立；（II）试求函数的最大值。20.（本小题满分14分）已知函数，。（I）求函数的解析式；（II）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（III）设，，且，求证：。10\n【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。1.D2.C3.D4.B5.D6.C7.A8.A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.16010.11.12.－113.9014.②③注：第14题多选、少选均不得分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分）15.（本小题满分13分）（I）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A。（1分）因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮一次且没有命中的概率为。（2分）同理，乙投篮一次且没有命中的概率为。（3分）所以。答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为。（6分）（II）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B。（7分）因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为，（9分）甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为（11分）所以。答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为。（13分）10\n16.（本小题满分13分）（I）解：由题意，得，（1分）因为，所以，。（3分）（II）解：由，猜想（5分）以下用数字归纳法证明：对任何的，证明：①当时，由已知，左边，右边，所以等式成立。（7分）②假设当时等式成立，即，（8分）则时，。所以当时，猜想也成立。（12分）根据①和②，可知猜想对于任何都成立。（13分）17.（本小题满分13分）（I）解：因为。（2分）令，解得。（3分）当变化时，与的变化情况如下表：－0＋极小值（5分）10\n所以函数在（）上单调递减，在上单调递增。（6分）（II）解：当时，因为函数在（）上单调递减，所以当时，函数有最小值。（8分）当时，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值。（10分）当时，因为函数在（）上单调递增，所以当时，函数有最小值。（12分）综上，当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为；；当时，函数在上的最小值为。（13分）18.（本小题满分13分）（I）解：由题意，得取出的3个球都是白球时，随机变量。（1分）所以，（3分）即，解得。（5分）（II）解：由题意，得X的可能取值为3，4，5，6。（6分）则，10\n，。。（10分）X的分布列为：X3456P（11分）所以。（13分）19.（本小题满分14分）（I）证明：设空间向量，且与的夹角为，因为，所以，（3分）即（6分）所以，当且仅当时，等号成立。（7分）（II）解；设空间向量，，且与的夹角为，（9分）因为，所以，即，（12分）当且仅当（即与共线，且方向相同）时，等号成立。所以当时，即时，函数10\n有最大值。（14分）20.（本小题满分14分）（I）解：因为，所以。（2分）令，得，所以。（II）解：设，则，（5分）令，解得。（6分）当变化时，与的变化情况如下表：（0，1）1＋0－极小值所以当时，。（8分）因为对于任意，都有成立，所以。（9分）（III）证明：由（II），得，即，令，得，令，得，（11分）所以10\n因为，所以，（13分）所以，即，所以，所以（14分）10
