北京市西城区（北区）2022－2022学年下学期高二期末考试数学试卷（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，，那么集合等于A.B.C.D.2.是虚数单位，若复数满足，则等于A.B.C.D.3.函数的图象在点（2，）处的切线方程是A.B.C.D.4.设，则“”是“”的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件5.设函数的导函数为，如果为偶函数，则一定有A.，B.C.D.6.对于，函数满足，，若当时，，则等于A.B.C.D.9\n7.如果数列对任意满足，且，那么等于A.1024B.512C.510D.2568.已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，。则实数的取值范围是A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9.已知命题，，那么命题为___________。10.数列满足，则___________，___________。11.设，则实数的大小关系是___________。12.设数列的前项和为，且对于任意，都有成立，则___________。13.已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数___________。14.设函数，其中，且，给出下列三个结论：①函数在区间（）内不存在零点；②函数在区间（）内存在唯一零点；9\n③，且，函数在区间内存在零点。其中所有正确结论的序号为__________。三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）设，集合，，（I）当时，求集合；（II）若，求实数的取值范围。16.（本小题满分13分）设等差数列的前项和为，且，，数列满足，其中。（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和。17.（本小题满分13分）已知函数，其中。（I）求证：函数为奇函数；（II）若，求函数的极值。18.（本小题满分13分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加2万元。（I）写出该渔船前四年每年所需的费用（不含购买费用）；（II）假设该渔船在其年平均花费额（含购买费用）最低的时候报废，试求此渔船的使用年限？19.（本小题满分14分）设函数，且，其中，2，3，…。（I）计算的值；9\n（II）设，求证：数列为等比数列；（III）求证：。20.（本小题满分14分）已知函数，。（I）求函数的解析式；（II）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（III）设，，且，求证：。9\n【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。1.B2.D3.D4.A5.C6.B7.A8.A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.，10.1，311.12.13.－114.②③注：第10题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分）15.（本小题满分13分）（I）解：因为集合，（2分）集合，（4分）所以。（7分）（II）解：集合（），（9分）因为，所以（11分）解得。所以。（13分）16.（本小题满分13分）（I）解：设等差数列的公差为，由，得，①（2分）由，得，②（4分）根据①，②解方程，得，（5分）9\n所以。（6分）（II）解：由（I），得，所以。（8分）所以，①则，②由①－②，得，（11分）所以，所以数列的前项和。（13分）17.（本小题满分13分）（I）解：函数的定义域为。（1分）因为，所以函数为奇函数，（5分）（II）解：因为，所以。（8分）令，解得。（9分）当变化时，与的变化情况如下表：（，－1）－1（－1，0）（0，1）1（1，）＋0－－0＋极大值极小值（11分）所以当时，有极大值，当时，有极小值。（13分）18.（本小题满分13分）9\n（I）解：设第年所需费用为（单位万元），则，（2分）（II）解：设该渔船使用了年，其总花费为万元，则，（5分）所以该渔船的年平均花费额为，（8分）因为，所以当，即时，年平均花费额W取得最小值23。（12分）答：此渔船的使用年限为10年。（13分）19.（本小题满分14分）（I）解：由题意，得，（1分）因为，所以，，（3分）（II）证明：因为，所以。所以数列是首项，公比为的等比数列，（7分）（III）由（II），得，（8分）所以。（9分）因为，9\n且当时，，，所以，即。（12分）因为，所以。综上，对于任意，都有。（14分）20.（本小题满分14分）（I）解：因为，所以。（2分）令，得，所以。（4分）（II）解：设，则，（5分）令，解得。（6分）当变化时，与的变化情况如下表：（0，1）1＋0－极大值所以当时，。（9分）因为对于任意，都有成立，所以。（10分）（III）证明：由（II），得，即，令，得，9\n令，得，（11分）所以因为，所以，即，所以，即，所以。（14分）9
