海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）学校___________班级姓名成绩___本试卷共100分,考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，且，则的值为（）A.B.0C.1D.22.曲线在点处的切线的倾斜角为（）A.B.C.D.3.函数在其定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数的图象可能为（）4.观察下列各等式：，，，…，则的末四位数字是（）A.3125B.5625C.8125D.06255.已知下列命题：①；②三角形的三个内角满足；③存在等比数列满足成立.其中所有正确命题的序号是（）A.①B.①②C.②③D.①②③11\n6.若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入右图的容器，则容器中水的高度与时间的函数关系图象是（）7.若函数有三个零点，分别为，且满足，，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知正方体的棱长为1，是截面内（包括边界）的动点，则的值不可能是()A．B．C．D．二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.已知三个点在同一条直线上，则.10.若函数是R上的单调增函数，则实数的取值范围_____________.11.由曲线和直线围成的封闭区域的面积为________.12.如图所示，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，且.若点为中点，则与底面所成角的余弦值为____________.13.若函数，给出下面四个结论：①是的极大值，是的极小值；②的解集为；③没有最小值，也没有最大值；④有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有__________________.14.已知函数,构造如下函数序列:（，且）,其中，，则_____________________，函数11\n的值域为__________________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题共10分）已知函数其中，且曲线在点处的切线斜率为3.（I）求的值；（II）若函数在处取得极大值，求的值.11\n16.（本小题共10分）已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，….（I）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；（II）设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．11\n17.(本小题共12分)已知平面⊥平面，其中为矩形，//，，且，，如图所示.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得∥平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.11\n18.（本小题共12分）已知函数.（I）当时，判断函数零点的个数；（II）求函数的单调区间.11\n海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2022.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．D2．D3．C4．A5．D6．C7．D8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．，10．11．12．13．①②④14．；（每空2分）三、解答题：本大题共4小题，共44分.15.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）………………2分由题意………………4分（Ⅱ）由函数在处取得极大值解得或………………6分①当时，13+00+极大值极小值由上表知，函数在处取得极大值，符合题意………………8分②当时，1+00+极大值极小值由上表知，函数在处取得极小值，不符合题意.综上所述，若函数在处取得极大值，的值为1.………………10分11\n16.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，当时，………………2分（Ⅱ），，，，，………………4分推测………………6分方法一证明：对于任意，……………….9分又是以为首项，以为公比的等比数列.故………………10分方法二下面用数学归纳法证明：①当，成立……….………………7分②假设当时，成立，即，则，所以成立.…………..…….9分由①②可知，数列的通项公式为……………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：平面平面，交线为11\n由已知可得且平面平面……………2分又如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，所以，有，，………………4分（Ⅱ）由已知可得，所以平面的一个法向量为………………5分设平面的法向量为，则有，不妨令，所以平面的一个法向量为.……………7分.由已知可得所求二面角的余弦值为………………………………9分（Ⅲ）设，，设平面的法向量为，则有，不妨令，则平面的一个法向量为,………………11分由，解得，不符合题意,即线段上不存在点，使得∥平面………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）的定义域为,………………1分11\n当时，，………………3分+0极大值因为，所以，此时，在定义域上，所以函数的零点个数为0.………………………………………………….6分（Ⅱ）,………………8分①当时,+0极大值…………9分②当时,+00+极大值极小值……..10分③当时，对恒成立,且仅当时所以，函数的单调递增区间是.……………11分④当时+00+极大值极小值…12分综上，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；11\n当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.说明：本题第二问不列表也可以。11
