北京市朝阳区2022-2022学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类）2022.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，那么集合A.B．C．D．2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A．B．C．D．3.已知，则的值为A．B．C．或D．或4.设且，则“”是“”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设,是两条不同的直线，,是两个不同的平面.下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6.已知三角形外接圆的半径为（为圆心），且，，则等于（）A．B．C．D．7.已知函数则函数的零点个数是A．B．C．D．9/108.5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.设平面向量，若//，则.10.已知角为三角形的一个内角，且，=..11.已知，，，则，，的大小关系是.12.设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为，的值为．13．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是.14.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后，返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第天，两马相逢.9/10三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且成等比数列.（Ⅰ）求的通项公式;（Ⅱ）若，求数列的前项和.16.（本小题满分13分）已知函数（）的图象经过点.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，求的取值范围.17.（本小题满分13分）如图，已知四点共面，且,,,,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.9/1018.（本小题满分14分）如图，四边形为矩形，平面，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线平面，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积．19.（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处切线斜率为，求函数的最小值；（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数.（I）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；（III）若，判断函数的零点的个数.9/10北京市朝阳区2022-2022学年度高三年级第一学期统一考试数学答案（文史类）2022.11一、选择题：（满分40分）题号12345678答案BCDABABA二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15.（本小题满分13分）解:（Ⅰ）设的公差为，因为成等比数列，所以.即，即.又，且，解得.所以有.……………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.则.即.…………………………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以解得.9/10所以.所以最小正周期为.…………………7分（Ⅱ）因为，所以所以当，即时，取得最大值，最大值是；当，即时，取得最小值，最小值是所以的取值范围是.……………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△中，因为，所以．由正弦定理得，．……………………5分（Ⅱ）在△中，由得，．所以．解得或（舍）．由已知得是锐角，又，所以.所以.．在△中，因为，9/10所以．……………………………13分18.（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为底面，所以底面．所以．又因为底面为矩形，所以．又因为，所以平面．所以．…………4分（Ⅱ）若直线平面，则直线平面．证明如下，因为，且平面，平面，所以平面．在矩形中，，且平面，平面，所以平面．又因为，所以平面平面．又因为直线平面，所以直线平面．………………9分（Ⅲ）易知，三棱锥的体积等于三棱锥的体积.由（Ⅰ）可知，平面．又因为，所以平面．易证平面，所以点到平面的距离等于的长．因为，，所以．所以三棱锥的体积．…………14分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以.依题意，,解得.所以，.9/10当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数；所以函数的最小值是.…………………………6分（Ⅱ）因为，所以.（1）若，则.此时在上单调递减，满足条件.（2）若，令得.(ⅰ)若，即，则在上恒成立.此时在上单调递减，满足条件.(ⅱ)若，即时，由得；由得.此时在上为增函数，在上为减，不满足条件.(ⅲ)若即.则在上恒成立.此时在上单调递减，满足条件.综上，.…………………………………………………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若，则，由得，；由得，.所以函数的单调增区间为；单调减区间为.………………3分（Ⅱ）依题意，在区间上..令得，或.9/10若，则由得，；由得，.所以，满足条件；若，则由得，或；由得，.，依题意，即，所以.若，则.所以在区间上单调递增，，不满足条件；综上，.……………………………………9分（III）,.所以.设，.令得.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为.因为，所以.所以的最小值.从而，在区间上单调递增.又，9/10设.则.令得.由，得；由，得.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以恒成立.所以，.所以.又，所以当时，函数恰有1个零点.…………14分9/10
