北师大附属实验中学2022－2022学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷(理科一卷)班级姓名学号分数试卷说明：1、本试卷考试时间为120分钟，总分为150分；试卷一100分，试卷二50分；2、试卷共4页，一卷共三道大题，17道小题；二卷共两道大题，8道小题．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1.已知两条相交直线，，平面，则与的位置关系是A．平面B．平面C．平面D．与平面相交，或平面2．已知过点和的直线与直线平行，则的值为A．B．C．D．3．过点作圆的切线,则切线方程为A．B．C．或D．或4．设表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是A．，则// B．,,则C．,,则D．，则5．点与圆上任一点所连线段的中点轨迹方程是A． B．C． D．6．在△ABC中，,若使△ABC绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是A．B．C．D．7．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是A．B．C．D．-12-\n8．已知点A(0，2)，B(2，0).若点C在函数的图象上，则使得的面积为2的点C的个数为A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.若圆的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线对称，则圆的标准方程为_______.10．棱锥的高为16cm,底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为cm.23411.平面截球的球面所得圆的半径为,球心到平面的距离为,则此球的表面积为.12.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则.13.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.14．在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是_.三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）15．在平面直角坐标系内有三个定点，记的外接圆为.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若过原点的直线与圆相交所得弦的长为，求直线的方程.EADACABAPAA16．如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.ABD1C1DCOA1B117．在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与-12-\n交点，已知,.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.2022－2022学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷(理科二卷)四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填在横线上）18．已知的展开式中的系数是10，则实数的值是________．19.已知正三棱锥的每个侧面是顶角为,腰长为的等腰三角形,分别是上的点,则的周长的最小值为．20.空间四边形中，若，则的取值范围是_________．21．设点，若在圆:上存在点，使得，则的取值范围是________.22．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是.五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）23．如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱的中点.（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：.24．已知点及圆：（Ⅰ）设过的直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．25．设圆的方程为，直线的方程为．（Ⅰ）求关于对称的圆的方程；-12-\n（Ⅱ）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．北师大实验中学2022－2022学年度第一学期高二理科数学期中试卷答题纸班级姓名学号分数_________一卷一．选择题：请将正确答案的序号涂在机读卡上二．填空题（每小题5分，共30分）9．；10．；11．；12．；13．；14．；三．解答题15．（本小题满分10分）在平面直角坐标系内有三个定点，记的外接圆为.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若过原点的直线与圆相交所得弦的长为，求直线的方程.-12-\n16．（本小题满分10分）EADACABAPAA如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.17．（本小题满分10分）在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知,.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；-12-\nABD1C1DCOA1B1（Ⅲ）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.二卷四．填空题（每小题4分，共20分）18．；19．；20．；21．；22．.五．解答题23．（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱的中点.-12-\n（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：.北师大实验中学2022－2022学年度第一学期高二理科数学期中试卷答题纸班级姓名学号分数_________24．（本小题满分10分）已知点及圆：（Ⅰ）设过的直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．-12-\n25．（本小题满分10分）设圆的方程为，直线的方程为．（Ⅰ）求关于对称的圆的方程；（Ⅱ）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．北师大附属实验中学2022－2022学年度第一学期高二年级数学期中试卷参考答案一卷一.选择题1-8:DBCDADCA二.填空题9.；10.；11.；-12-\n12.；13.；14.三．解答题15.解：（Ⅰ）设的外接圆E的圆心，半径为r(r>0).则E为：.由题意，得，…………………3分解得，所以E：…………………5分（Ⅱ）设直线l的方程为或（舍）.如图，设l与圆E相交于点M，N，过圆心作直线l的垂线，垂足为P，DylMPNOx所以，即，在Rt中，，，所以，…………6分又因为圆E的圆心到直线l的距离.…………………7分所以，解得或,…………………9分故直线l的方程为或.…………………10分16.解：（Ⅰ）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面.…………………3分（Ⅱ）连结，因为∥，又°，所以.EADACABAPAA又，为中点，-12-\n所以.所以平面，所以.…………………6分（Ⅲ）因为平面平面，有，所以平面，…………………8分所以.…………10分17.解：（Ⅰ）依题意,因为四棱柱中，底面，ABD1C1DCOEMA1B1所以底面.又底面,所以.因为为菱形，所以.而，所以平面.…………3分（Ⅱ）连接,交于点，连接.依题意，∥,且，,所以为矩形.所以∥.又,,,所以=，所以为平行四边形，则∥.又平面，平面,所以∥平面.…………………6分（Ⅲ）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点.分析如下：连接，则.由于∥,故欲使，只需,从而需.又在中，,又为中点，所以.故点一定在线段上.…………………………8分当时，取最小值.在直角三角形中，,,,所以.…………………………10分二卷-12-\n四.填空题18．； 19．； 2０． 21． 22．五．解答题23.解：（I）底面，，，，面.…………3分（II）面//面，面面，面面，//，在中是棱的中点，是线段的中点.…………6分（III）三棱柱中侧面是菱形，由（1）可得，，面，.又分别为棱的中点，//，.…………10分24.（Ⅰ），而弦心距又，为中点则以为直径的圆的方程为：…………4分（Ⅱ）把直线即．代入圆的方程，-12-\n消去，整理得．由于直线交圆于两点，故，即，解得．则实数的取值范围是．…………6分设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，而，所以．…………8分由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．…………10分25.解：（Ⅰ）圆C1的圆心为，设C1关于直线l对称点为C2（a，b）则 …………2分 解得：∴圆C2的方程为…………………………4分（Ⅱ）由消去m得a－2b+1=0即圆C2的圆心在定直线x－2y+1=0上。…………6分设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则…………7分即∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有： 解之得：所以所表示的一系列圆的公切线方程为：或…………10分-12-
