甘二中2022-2022学年度上学期期中考试高二数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。注意：1．答卷前，将姓名、考号填在答题卡的密封线内。2．答案必须写在答题卡上，在试题卷上答题无效。第Ⅰ卷（选择题，每题5分，共60分）1.经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为( )A．45° B．135°C．90°D．60°2.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么()A.α∥βB.α与β相交C.α与β重合D.α∥β或α与β相交3．与直线2x＋y－3＝0平行，且距离为的直线方程是( )A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y－8＝0C．2x＋y＋2＝0或2x＋y－8＝0D．2x＋y－2＝0或2x＋y＋8＝04．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若∥α，∥β，则α∥βB．若，，则α∥βC．若，∥β，则α∥βD．若，∥α，则5．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ） 6.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°7.如果三个球的半径之比是1∶2∶-7-\n3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A．倍 B．倍 C．2倍 D．3倍8.1个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积( )A.16πB．4πC．8πD．12π9.长方体中，AB=AD=，CC1=，则二面角C1-BD-C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°10.直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为( )A．3x－y－5＝0B．3x－y＋5＝0C．3x＋y＋13＝0D．3x＋y－13＝011．直线2x＋3y－6＝0关于点A(1，－1)对称的直线为( )A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝012.已知直线l1：ax＋2y－1＝0，直线l2：8x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )A．±4B．－4C．4D．±2第Ⅱ卷（非选择题，每题5分，共20分）-7-\n12.已知点A(－2,3)，B(4，－1)，则线段AB的垂直平分线方程为________．13.点M(1,4)关于直线l：x－y＋1＝0对称的点M′的坐标是________．15..已知a，b表示直线，α，β，γ表示不重合平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β．上述命题中，正确命题的序号是 ．16.不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点________．三、解答题（17题10分，其他题12分，共70分）17．过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，求直线l的方程．18．(1)求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；(2)求经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程．19．已知△ABC的三边所在直线的方程分别是lAB：4x－3y＋10＝0，lBC：y＝2，lCA：3x－4y＝5．(1)求∠BAC的平分线所在直线的方程；(2)求AB边上的高所在直线的方程．20.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a.-7-\n求证:（1）MN∥平面PAD；（2）平面PMC⊥平面PCD.21．已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若AB⊥BC，求实数m的值．22.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥CA1DE的体积．-7-\n高二理科数学期中考试答案1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.A9.A10.D11.D12.B13.3x－2y－1＝014.(3,2)15.②④16.(9,-4)17．解：设线段AB的中点为M(4y0＋1，y0)，点M到l1与l2的距离相等，故＝，解得y0＝－1，则点M(－3，－1)．∴直线l的方程为＝，即4x－5y＋7＝0．18．解：(1)设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0．由已知＝6，解得c＝±30，故所求的直线方程为4x－3y±30＝0．(2)设所求的直线方程为2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，即(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋λ－5＝0．∵所求直线与直线x＋2y－3＝0平行，∴3＋15λ－2(2＋7λ)＝0，解得λ＝1．故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0．19．解：(1)设P(x，y)是∠BAC的平分线上任意一点，则点P到AC，AB的距离相等，即＝，∴4x－3y＋10＝±(3x－4y－5)．又∵∠BAC的平分线所在直线的斜率在和之间，∴7x－7y＋5＝0为∠BAC的平分线所在直线的方程．(2)设过点C的直线系方程为3x－4y－5＋λ(y－2)＝0，即3x－(4－λ)y－5－2λ＝0．若此直线与直线lAB：4x－3y＋10＝0垂直，则3×4＋3(4－λ)＝0，解得λ＝8．故AB边上的高所在直线的方程为3x＋4y－21＝0．-7-\n20.证明：如图所示，(1)设PD的中点为E，连结AE、NE，由N为PC的中点,知ENDC.又四边形ABCD是矩形，∴DCAB.∴ENAB.又M是AB的中点，∴ENAM.∴AMNE是平行四边形.∴MN∥AE.而AE平面PAD，NM平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA=AD，∴AE⊥PD.又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD.∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD.又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.21.解：(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，则kBC＝kAB，即＝，解得m＝1或1－或1＋.(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，由kAB·kBC＝－1，得·＝－1，-7-\n解得m＝－3.综上，可得实数m的值为2或－3.22.连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF．因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1⊥AB，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1．由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D．所以V三棱锥CA1DE＝××××＝1．-7-
