内蒙古包头市第四中学2022届高三数学上学期期中模拟测试试题（二）理第Ⅰ卷（选择题，共60分）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝A．[1，3)B．(1，3)C．[0，2]D．(1，4)2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥04．函数f(x)＝的定义域为A.B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)5．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为A．2B．－2C.D．－6．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝A．1B．2C．3D．58．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝A．31B．32C．63D．649．某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为-8-\nA．8－2πB．8－πC．8－D．8－10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A.B．16πC．9πD.11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝A.B.C.D.12．已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，则k的最小值为A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）一，填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．14.若将函数f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．15．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．-8-\n16．等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.二，解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分10分）、已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．19（本小题满分12分）．已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.20．（本小题满分12分）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)-8-\n21．（本小题满分12分）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD。(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．22、（本小题满分12分）设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．答案一、选择题（每小题5分，共60分）(1)A(2)D(3)C(4)C(5)D(6)B(7)A(8)C(9)B(10)-8-\nA(11)C(12)B 二、填空题（每小题5分，共20分）(13)90°（14）(15)(－ln2，2)(16)三、解答题（共70分，按步骤得分）17解：(1)由已知，有f(x)＝cosx·－cos2x＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin2x－cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.18，解：(1)由·＝2得c·a·cosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.-8-\n解得或因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝·＝.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.所以cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.19．(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.20．解：21．(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.-8-\n由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M.则＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)．设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则即取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝＝＝.22.解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－k＝－＝.由k≤0可得ex－kx>0，-8-\n所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．因为g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，当0<k≤1时，当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．当k>1时，得x∈(0，lnk)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减；x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．所以函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk)．函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当解得e<k<.综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.-8-
