汕头市2021~2022学年度普通高中教学质量监测高一数学一､单选题（本题共8小频.每小颗5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A2.（）A.B.C.D.【答案】C3.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B4.下列区间中，函数单调递增的区间是（）A.B.C.D.【答案】A5.函数的部分图象的大致形状是（）A.B.\nC.D.【答案】D6.函数的最小正周期是A.B.C.D.【答案】C7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D8.一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余\n的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（）.A.24B.26C.8D.16【答案】D二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量（单位：），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）猕猴桃柚子A.每克柚子维生素含量的众数为B.每克柚子维生素含量的分位数为C.每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数D.每克猕猴桃维生素含量的方差高于每克柚子维生素含量的方差【答案】BC10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的单调递增区间是B.函数的值域是RC.函数的图象关于对称D.不等式的解集是【答案】BCD11.已知向量，，则下列结论正确的是（）.A.若，则B.若，则\nC.若取得最大值，则D.的最大值为【答案】BCD12.已知函数，则（）A.是周期函数B.的图象必有对称轴C.的增区间为D.的值域为【答案】ABD三､填空题（每小题5分，共20分）.13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】14.已知正实数a，b满足，则的最小值为______．【答案】315.已知，，，则、、从小到大的顺序为_______.【答案】16.斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是___________.\n【答案】20四､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知函数（，且）满足.（1）求的值；（2）解不等式.【答案】（1）（2）18.有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在条鱼的样本中发现的汞含量（单位：）如下：（1）因为样本数据的极差为，所以取区间为，组距为，请把频率分布表补充完整；（2）请把频率分布直方图补充完整；\n（3）求得上述样本数据的平均数为和标准差为，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、倍标准差的范围内？【答案】（1）频率分布表见解析（2）频率分布直方图见解析（3）【解析】【分析】（1）根据分组、频数、频率，结合题中数据可制成频率分布表；（2）根据频率分布表可作出频率分布直方图；（3）求出相应的区间，结合样本数据可得结果.【小问1详解】解：根据题意，频率分布表如下表所示：分组频数频率合计【小问2详解】解：频率分布直方图如下图所示：\n【小问3详解】解：平均数为，标准差为，，，在上述样本中，其中汞含量在范围内的鱼的条数为.19.如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点.（1）当为的中点时，求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求与平面所成角的正切值的最大值.【答案】（1）（2）\n20.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记为，为，求的值.【答案】（1）2，18平方（2）21.如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）\n【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）翻折前，利用勾股定理证明出，翻折后则有，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知二面角的平面角为，证明出，计算出的长，即可求得的余弦值，即为所求.【小问1详解】证明：取线段的中点，连接、，翻折前，在矩形中，为的中点，，则，所以，，翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，为的中点，且，则，所以，为的中点，又因为为的中点，所以，，平面，平面，所以，平面，，所以，平面平面，因为平面，平面.【小问2详解】证明：在矩形中，，，，，因为，则，因为，为的中点，所以，，则，\n所以，，所以，，则，在三棱锥中，则有，，因为，所以，面.【小问3详解】解：在三棱锥中，，，，所以，，，过点在平面内作，垂足为点，连接，平面，平面，，因为，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，因为平面，平面，，所以，，故，因此，二面角的余弦值为.\n22.已知函数，（1）判断的奇偶性并证明；（2）若，求的最小值和最大值；（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.【答案】（1）偶函数，证明见解析.（2），（3）【解析】【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；（3）由于，则转化为或，然后分类讨论即可求出结果.【小问1详解】是偶函数证：因为的定义域为,且∴f（x）是偶函数【小问2详解】当，则\n又∴当时，当时，【小问3详解】因为都是偶函数.所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或，①当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，所以恰有3个零点，即满足条件：.②当时，即且时，此时，当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，所以，解得，此时有2个零点符合要求，当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，当时，解得或，令解得或（舍去），所以的根为，要使恰有3个零点，则\n综上：
