铁人中学2021级高一学年下学期期末考试数学试题本试题满分150分，答题时间120分钟一、选择题（1-8单选题，9-12多选题，部分选对得3分，全部选对得5分，共60分）1.已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为,已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（）A.240B.300C.360D.4003.已知15个不同数据的第25百分位数是9，则下列说法正确的是（）A．这15个数据中一定有4个数小于9B．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据C．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据和第5个数据的平均数D．把这15个数据从小到大排列后，9是第3个数据和第4个数据的平均数4.己知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.5.已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A．B.C.D.6.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（）A．倍B.4倍C.倍D.倍7.如图,圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板,表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器,利用正午时太阳照在表上,表在圭上的影长来确定节令.\n已知冬至和夏至正午时,太阳光线与地面所成的角分别为表影长之差为,那么表高为( )A.B.C.D.8.如图为等腰三角形，,以为圆心，为半径的圆分别交与点，点是劣弧上的一点，则的取值范围是()A.B.C.D.9.(多选)已知是不同的平面，是两条不重合的直线，下列说法不正确的是（ ）A．若则B．若，则C．若则D．若，则10.(多选)关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A.改变其中一个数据，平均数一定改变，中位数可能不变B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数D.样本中每个数据变为原来的2倍，则样本方差变为原来的2倍，11.(多选)一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）A．事件发生的概率为B．事件与事件互斥\nC．事件与事件相互独立D．事件发生的概率为12.(多选)如图，平面四边形中，是等边三角形，且是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（ ）A．存在某个位置，使得与所成角为锐角B．棱上总恰有一点，使得平面C．当三棱锥的体积最大时，D．当二面角为直角时，三棱锥的外接球的表面积是一、填空题（每小题5分，共20分）13．已知复数满足，则=_______14.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为_______15.的内角的对边分别为，已知,若角的平分线交于点，，则的长为__________16.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，为的中点，过作平面分别与线段，交于点，且则________；四边形的面积为_________三、解答题（17题10分，18-22题每题12分,共70分）\n17.(本题10分)在中，分别是角所对应的边,若,的面积为,且（1）求角的大小（2）求的周长18.(本题12分)目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制，各地各学校逐渐开始有序复学.某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：(1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值；(3)根据评奖规则排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？19.(本题12分)2020年是我国5G网络建设的加速之年．截至2020年底，中国已建成全球最大的5G网络．为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评。其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地5G网络发展水平．其中5座受测城市的5G综合下载速率（单位：Mbps)数据如下表：\n（1)从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“5G综合下载速率”都大于800Mbps的概率；（2)甲、乙两家5G网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙的选取互不影响），求甲、乙两家运营商中恰有1家选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps的概率．20．（本题12分）如图所示，底面为菱形的直棱柱中，、分别为棱、的中点。（1）在图中作一个平面，使得，且平面；（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面。）（2）若，，求点到所作截面的距离。21.(本题12分)已知分别是的内角的对边,且（1）求角的大小（2）若，求的最大值。22.(本题12分)在三棱台中，\n侧面平面(1)求证：平面(2)求证：是直角三角形(3)求直线与平面所成的正弦值铁人中学2021级高一学年下学期期末考试数学试题铁人中学2021级高一下期末考试~数学答案123456ACBDBC789101112DAABCABACBCD13141516\n17【答案】（1） ∵c=2cosC(acosB+bcosA),∴由正弦定理可得sinC=2cosC(sinAcosB+sinBcosA),可得2cosCsin(A+B)=2cosCsinC=sinC,∵C∈(0,π),sinC≠0,∴解得cosC=,∴C=.（2）∵c=,∴由△ABC的面积为=absinC=×a×b×,解得ab=6,∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得7=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-18,解得a+b=5,∴△ABC的周长=a+b+c=5+.18.(1)设分数在[70,80]内的频率为x．根据频率分布直方图，可得解得：，所以分数在[70,80]内的频率为0.25，所以补全这个频率分布直方图，如图所示：(2)根据频率分布直方图得：均值为：45x0.10＋55x0.15＋65x0.20＋75x0.25＋85x0.25＋95x0.05=70.5．即估计本次考试成绩的均值为70.5分．(3)因为分数在[80,90）内的频率为0.25，［90,100）内的频率为0.05，而0.05＜10％＜0.25+0.05．所以排名前10％的分界点为90-a，则0.025a＋0.005x10＝10％，解得：a=2．所以排名前10％的分界点为88分，即获奖的同学至少为88分．19【答案】（1）5座城市中“5G综合下载速率”大于800Mbps的有3座，设为A1，A2，A3，“5G综合下载速率”不大于800Mbps的有2座，设为B1，B2．随机选取2座城市所有可能为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2座城市“5G综合下载速率”都大于800Mbps的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种．设两个城市“5G综合下载速率”都大于800Mbps为事件M，\n所以（2）设甲选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps为事件C，乙选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps为事件D，恰有1家运营商选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps为事件N．依题意，P（C）＝P（D）＝，=20【答案】（1）如图，取、的中点、，连接、、，则平面即为所求平面；（2）设点到平面的距离为，由等体积法得：，又，∵，又，∴，又由得：，∴21【答案】（1）因为，所以所以所以所以\n（2），由正弦定理得所以其中，当时，即时最大值为21【答案】由已知得；所以，又因为，所以所以又因为侧面平面，，所以平面（2）设，在线段上取点，使得，连接，由（1）知平面，所以，又因为在中，，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以又因为所以，所以，所以所以是直角三角形。（3）过作由（2）可知，所以，连接，所以是直线与平面所成的角，容易知道，所以，解得所以\n直线与平面所成角的正弦值为
