大庆铁人中学2020级高二学年下学期期末考试数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.以下六个关系式：；；；；；是空集，错误的个数是（）A．4B．3C．2D．12.若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．3.下列四个结论中不正确的结论是（）A．命题：“，”的否定是：“，”B．C．幂函数的图象关于轴对称，则D．设随机变量，若，则=0.84.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据：月份代码12345碳酸锂价格（万元/）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则（）A．0.28B．0.29C．0.30D．0.315.设，则下列说法正确的是（）\nA．B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．，使得6.中国的技术处于领先地位，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到4000，则大约增加了（）A．B．C．D．7．函数的图象不可能为（）A．B．C．D．8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．9.已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．\n10.新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（）A．B．C．D．11.(多选)设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A．B．在上为减函数C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解12.(多选)下列命题中，正确的命题是（）A．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为B.在三位数中，形如“”的数叫做“对称凹数”，如：，，，则在所有三位数中共有个对称凹数C.北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有150种D．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个第II卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知，则“”是“X的密度曲线的峰值比Y的密度曲线的峰值高”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)14．已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围是\n_______.15.若正实数,满足，则的最小值为________.16．购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为________；一年度内盈利的期望为________万元.（参考数据：）（第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.（本小题满分10分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中所有的有理项．18.（本小题满分12分）国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2018年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：成绩优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育90家长重视学生教育度一般30总计12080200\n若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为．（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，．0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在闭区间上的最大值和最小值．20.（本小题满分12分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为，．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．21.（本小题满分12分）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收\n集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；(2)假设共有名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为（单位：元），当该纪念品的销售价格定为多少时，的数学期望达到最大值？22.（本小题满分12分）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若是的两个零点，求证：．大庆铁人中学2020级高二学年下学期期末考试数学试题答案一、选择题：123456789101112DCCACBCDBACDACD二、填空题：13．__充要__14．_______15.___7____16．_____；_____.（第一空2分，第二空3分）三、解答题：17.（本小题满分10分）【详解】\n(1)解：选①，由，得（负值舍去）．选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．由得．选③，设第项为常数项，，由，得．由得展开式的二项式系数最大为，则展开式中二项式系数最大的项为．(2)解：设第项为有理项，，因为，，，所以，则有理项为，，，．18.（本小题满分12分）【详解】解：（1）由条件知，解得，所以，，，，依据小概率值的独立性检验，有把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关．（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人．由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3．，，．所以X的分布列为\nX0123P数学期望．19.（本小题满分12分）【详解】(1)由，得，则，又切点为，所求切线方程为；(2)令得：，又，所以时，单调递减，时，单调递增，所以，20.（本小题满分12分）【详解】（1）依题意，实数对（x，y）共有16种，使的实数对（x，y）有以下6种：，所以；（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4．有以下6种：，所以；有以下2种：，所以；有以下1种：，所以；有以下1种：，所以；所以的分布列为：01234，\n答：的数学期望为．21.（本小题满分12分）【详解】(1)时，消费者购买该纪念品的概率，由题意，，，，同理，，，，的分布列为：01234；(2)由（1）知时，（时等号成立），时，（时等号成立），时，（时等号成立），，因此最大，此时．所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望达到最大值．22.（本小题满分12分）【详解】(1)定义域为．当时，对均成立，∴在上单调递增当时，令，解得；令，解得∴在上单调递增，在上单调递减．综上所述，时，在上单调递增：\n时，在上单调递增，在上单调递减．(2)是的两个零点，由(1)可知：时，在上单调递增，最多存在一个零点，不合题意；故只考虑的情况,此时在上单调递增，在上单调递减．又∵是的两个零点，则必有一个在上，一个在上不妨令，,要证,即证,即证,即证由题意有：要证，即证即证法一：即证∵∴又因为且在上单调递减要证只需证而即证令 ∵时，∴∴对都成立∴在上单调递增，∴从而命题得证．法二：即证,由即证即证\n即证令，即证令，∴在上单调递增．∴从而命题得证．
