数学测试满分：120分考试时间：120分钟一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（）A．5°B．10°C．15°D．20°3．已知，则（）A．B．C．D．4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个奇素数之和。这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”。我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（）A．6B．10C．12D．165．如果，且．则下列说法中不可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．a为正数，b为负数C．a为正数，c为负数D．c为正数，a为负数6．在线段AB上有P、Q两点，AB=26，AP=14，PQ=11，求BQ的长（）A．1B．23C．1或23D．127．一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）A．只有aB．只有bC．只有cD．只有a和b8．反比例函数与一次函数（，）在同一坐标系中的图象只能是（）A．B．C．D．\n9．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14．根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（）A．252B．253C．336D．33710．如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为（）A．1：3B．1：2C．：2D．：1第10题图第17题图二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）11．按一定规律排列的数据依次为，，，，…按此规律排列，则第30个数是________．12．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当时，min{a，b}=b；当时，min{a，b}=a．例如：min{，1}=，若关于x的函数y=min{，}，则该函数的最大值为________．13．火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车的长度为________．14．直线过点A（0，2）、B（2，0），直线：过点C（1，0），且把△AOB分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为________．15．已知：，且，求________．16．正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________．17．如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB的中点，B'在反比例函数上，则k的值为________．18．在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且\nPA=8，PC=6，则PB=________．三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）19．解方程：．20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE=15°，连接BE．（1）证明：BE=DE；（2）延长BE至F，使CF=BC，连接CF，求证：CE+DE=EF．\n22．通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．（1）当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36？23．若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．\n24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD=2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．（1）求点B，点C的坐标；（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案\n一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案DCCADCABBB2．【解析】解：如图，，，，，，故选：．6．【解析】解：本题有两种情形：（1）当点在线段上时，如图，；（2）当点在线段上时，如图，．故答案为：23或1．故选：C．7．【解析】解：由题意，得由（3）得，（5）由（1）（5）得，，即，（6）由（2）（6）得，由（4）（6）得，，，故选：．\n8．【解析】解：、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误；、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，当时，，故，两结论一致，故本选项正确；、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误；、由反比例函数的图象可知，即，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误．故选：．9．【解析】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要根小木棒，第3个图形需要根小木棒，按此规律，第个图形需要个小木棒，当时，解得，故选：．10．【解析】解：如图，连接，是的切线，为半径，，即，，又，即，，是的直径，，即，又，而，，在和中，，，又，，，即和面积之比为，故选：．\n二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）11．12．13．94米14．15．16．115．16．17．【解析】解：连接，作轴于点，由题意知，是中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，在反比例函数上，．故答案为：．18．【解析】解：由题意，设，则，，，，，．故答案是：．三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）19．或20．【解析】解：由题意得：，，，\n设，，在中，，，在中，，，，经检验：是原方程的根，，凉亭的高约为．21．【解析】（1）证明：如图，连接交于点，四边形是正方形，垂直平分，；（2）证明：，，，，，，，，，，，，，在上截取，连接，则是等边三角形，，，，，，，．22．【解析】解：（1）设时的抛物线为由图象知抛物线过，，三点\n，解得，．（2）由图象知，当时，当时，令，得解得，（舍去）当时，另，得解得老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题．23．24．【解析】证明：（1）如图，连接，是的直径，，，，，；（2）如图，连接，为的中点，，，，，，，，，\n，，，，，，，，，即，为半径，直线为的切线．25．【解析】解：（1）当时，，解得：，，点的坐标为，点的坐标为；当时，，点的坐标为．（2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，．点的坐标为，，，，．，当时，取得最大值，即当取最大值时，的值为1．\n（3）存在，设点的坐标为．在图（2）中，连接，过点作轴于点，过点作轴，过点作轴交于点．，，为等腰直角三角形，，．抛物线的顶点为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，，，，．，．，，，．又，．又，，，即，解得：（不合题意，舍去），，点的坐标为．
