湖南省长沙市南雅中学2022-2022学年高一上第三次月考数学试（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为U={n|n∈N*且n<9}，集合S={1,3，5}，T={3,6}，则∁U(S∪T)等于( )A.⌀B.{2,4，7，8}C.{1,3，5，6}D.{2,4，6，8}【答案】B【解析】解：全集为U={n|n∈N*且n<9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1,3，5}，T={3,6}，∴S∪T={1,3，5，6}，∴∁U(S∪T)={2,4，7，8}．故选：B．用列举法写出全集U，根据并集与补集的定义运算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=xB.y=x3C.y=−x2D.y=log2|x|【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x，其定义域为[0,+∞)，不是偶函数，不符合题意；对于B，y=x3，为奇函数，不符合题意；对于C，y=−x2，是二次函数，是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y=log2|x|=log2(−x),x<0log2x,x>0，是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.设矩形边长分别为a、b(a>b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面)，其体积分别为Va和Vb，则Va与Vb的大小关系是( )A.Va>VbB.Va=VbC.Va<vbd.不确定【答案】c11 12="">b∴Va<vb故选：c．根据圆柱的几何特征，分别计算va和vb，根据不等式的基本性质，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱的几何特征，是解答的关键．1.三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为(>log33=1，log20.8<log21=0．∴log20.8<0.993.3<log3π．故选：c．利用指数函数和对数函数的运算性质，逐一比较三个数与0和1的关系即可得到答案．本题考查了对数值的大小比较，考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．2.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：①若α>02−x>0，解得−3<x<2．∴函数f(x)=x22−x+log2(x+3)的定义域是(−3,2)．故选：a．由分母中根式内部的代数式对于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2.在矩形abcd中，ab=1，bc=2，pa⊥面abcd，pa=1，则pc与面abcd所成的角是(>3，若f(a)=f(b)=f(c)且a<b<c，则ab+bc+ac的取值范围为(>9}；∴(∁UA)∩B={x|x>9}；(2)∵x∈A={x|3≤x≤9}；∴log139≤log13x≤log133；∴−2≤log13x≤−1；∴C=[−2,−1]；∵D={x|x2+ax+b≤0}，且C=D；∴−2，−1是方程x2+ax+b=0的两实根；∴根据韦达定理得(−2)⋅(−1)=b−2−1=−a；∴a=3，b=2；∴a+b=5．【解析】(1)容易得出B={y|y≥4}，然后进行交集、补集的运算即可；(2)可以得出C=[−2,−1]，由C=D可知，−2，−1是方程x2+ax+b=011/12的两个实数根，根据韦达定理即可求出a，b，从而求出a+b值．考查指数函数、对数函数的单调性，函数单调性定义，以及交集、补集的运算，集合相等的概念，一元二次不等式的解法，韦达定理．1.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=23，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=π3．(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P−BDF的体积．【答案】解：(Ⅰ)∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由∠ACB=∠ACD=π3，∴BD⊥AC．再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．(Ⅱ)∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，∴三棱锥F−BCD的高是三棱锥P−BCD的高的18．△BCD的面积S△BCD=12BC⋅CD⋅sin∠BCD=12×2×2×sin2π3=3．∴三棱锥P−BDF的体积V=VP−BCD−VF−BCD=13⋅S△BCD⋅PA−13⋅S△BCD⋅ 18⋅PA=78×13⋅S△BCD⋅PA=724×3×23=74．【解析】(Ⅰ)由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD.再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．(Ⅱ)由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F−BCD的高是三棱锥P−BCD的高的18.求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P−BDF的体积V=VP−BCD−VF−BCD=13⋅S△BCD⋅PA−13⋅S△BCD⋅ 18⋅PA，运算求得结果．本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．2.某商品每件成本为80元，当每件售价为100元时，每天可以售出100件.若售价降低10x%，售出商品的数量就增加16x%．11/12(1)试建立该商品一天的营业额y(元)关于x的函数关系式；(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，且又不能亏本，求x的取值范围．【答案】解：(1)所求函数关系式为y=100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)(x>0)…(3分)又售价不能低于成本价，所以100(1−x10)−80≥0，解得0≤x≤2．∴y=100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)，定义域为[0,2]．(不写定义域不扣分)(2)依题意建立不等式组：100(1−0.1x)≥80(2)100(1−0.1x)⋅100(1+0.16x)≥10260(1)…(6分)解(1)得：12≤x≤134…(8分)解(2)得：x≤2…(9分)综上所述，12≤x≤2，即x的取值范围是[12,2].…(10分)说明：无不等式(2)共扣(2分)．【解析】(1)根据营业额=售价×售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出x的取值范围；(2)根据题意，列出不等式，求解即可．本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识.新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．1.如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．(1)求证：MN//平面PCD；(2)求证：平面MNQ//平面PBC．【答案】证明：(1)由题意：四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，∴N是AC的中点，∴MN//PC，又∵PC⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，∴MN//平面PCD．(2)由(1)，知MN//PC，∵M，Q分别是PA，PD的中点，∴MQ//AD//BC，又∵BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC=C，MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN=M，∴平面MNQ//平面PBC．【解析】(1)推导出四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，MN//PC，由此能证明MN//平面PCD．11/12(2)推导出MN//PC，MQ//AD//BC，由此能证明平面MNQ//平面PBC．本题考查线面平行、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．1.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x．(1)求a、b的值；(2)若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−2,−1]上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)开口向上，对称轴x=1，∴在区间[2,3]上时增函数．则g(3)=4g(2)=1，即3a+1+b=4b+1=1解得b=0a=1∴g(x)=x2−2x+1．(2)由(1)可得g(x)=x2−2x+1．那么：f(2x)=2x+12x−2．不等式f(2x)−k⋅2x≥0，即2x+12x−2≥k⋅2x，设t=12x，因x∈[−2,−1]，故t∈[2,4]，可得：t2−2t+1≥k．∴h(t)min=1，故得k的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)根据二次函数的性质求解在在区间[2,3]上有最大值和最小值，即可得a、b的值；(2)求解f(2x)的解析式，利用换元思想，利用二次函数性质即可求解实数k的取值范围．本题考查了二次函数的性质和转化思想的运用，属于中档题．2.已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)若函数h(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+22a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)因为，f(x)+g(x)=log4(4x+1)…①，∴f(−x)+g(−x)=log4(4−x+1)，∴f(x)−g(x)=log4(4x+1)−x…②由①②得，f(x)=log4(4x+1)−x2，g(x)=x2．(2)由h(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+22a)=log4(4x+1)−x2−12log2(a⋅2x+22a)11/12=12log2(22x+1)−x2−12log2(a⋅2x+22a)=0．得：log222x+12x=log2(a⋅2x+22a)⇒(a−1)22x+22a⋅2x−1=0，令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+22at−1=0…(*)只有一个大于0的根，①当a=1时，t=24>0，满足条件；②当方程(*)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a>1，③当方程(*)有两个相等的且为正的实根时，则△=8a2+4(a−1)=0，∴a=12，a=−1(舍)a=12时，t=22>0，综上：a=12或a≥1．【解析】(1)利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．(2)利用函数只有一个零点，通过换元法，对a讨论，结合二次函数的性质求解即可．本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．11/12</b<c，则ab+bc+ac的取值范围为(></x<2．∴函数f(x)=x22−x+log2(x+3)的定义域是(−3,2)．故选：a．由分母中根式内部的代数式对于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2.在矩形abcd中，ab=1，bc=2，pa⊥面abcd，pa=1，则pc与面abcd所成的角是(></log21=0．∴log20.8<0.993.3<log3π．故选：c．利用指数函数和对数函数的运算性质，逐一比较三个数与0和1的关系即可得到答案．本题考查了对数值的大小比较，考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．2.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：①若α></vb故选：c．根据圆柱的几何特征，分别计算va和vb，根据不等式的基本性质，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱的几何特征，是解答的关键．1.三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为(></vbd.不确定【答案】c11>
