试卷类型：A汕头市2021～2022学年度普通高中教学质量监测高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，监考员将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D2.已知为虚数单位，则复数的虚部是（）A.B.1C.2D.2i【答案】B3.是直线和平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A4.已知向量、、满足，且，则、夹角为A.B.C.D.【答案】C\n5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A6.把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，则A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称【答案】B7.已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面\n积为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】D8.根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（）A.86B.100C.114D.136【答案】C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（）A.相关变量x，y具有正相关关系B.去除两个歧义点后的回归直线方程为C.去除两个歧义点后，样本（4，8.9）的残差为D.去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小【答案】ABC10.若，，，，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC11.设有一组圆，下列命题正确的是（）A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B.存在圆经过点（3，0）\nC.存在定直线始终与圆相切D.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则【答案】ACD12.已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（）A.数列是等比数列B.数列所有项之和为729C.数列是等差数列D.数列的最大项为20【答案】BD第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】14.已知圆锥同时满足条件：①侧面展开图为半圆；②底面半径为4，则圆锥的体积__________【答案】15.已知为第三象限角，，则_____．【答案】16.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2\n所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.【答案】①.②.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.四边形的内角与互补，，，．（1）求角和长度；（2）求四边形的面积．【答案】（1）；（2）.18.为惠普市民，鼓励市民消费，进一步优化消费供给，加快打造区域消费中心城市，我市开展“2022汕头欢乐购”系列消费券发放活动，第一期活动在4月30日启动，持续至6月2日，全市市民可通过银联云闪付APP或“汕头商务”公众号“促消费”菜单进入“2022汕头欢乐购”活动主题界面领取消费券.从平台发布统计数据中随机选出200人，经统计这200人中通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单成功领取“欢乐购”消费券的有160人．将这160人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：\n（1）求a的值并估计这160人的平均年龄（每组数据以区间中点值作为代表）；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过“银联闪付APP”成功领取“欢乐购”消费券的中老年人有26人，完成下列列联表并根据小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关？通过银联闪付APP成功领券通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单成功领券合计青少年中老年合计附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），平均年龄：；（2）表格见解析，有小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关.【小问1详解】依题意，，解得，平均年龄为：.【小问2详解】通过银联闪付APP成功领券通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单成功领券合计\n青少年1496110中老年266490合计40160200根据定义，，由表格可读出，有小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关.19.已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．（1）求的值；（2）记为数列的前n项和，求．【答案】（1）0（2）20.如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1），分别是线段，的中点，则，，又，所以，\n，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由（1）可得平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以，所以，，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，．所以二面角的余弦值为．\n21.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆：的右焦点重合．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）方程为，准线为；（Ⅱ）22.已知函数（）．（1）若a=1，讨论的单调性；（2）若函数存在两个极小值点，，求实数a的取值范围；（3）当时，设，求证：．【答案】（1）单调递减；单调递增（2）（3）证明见解析\n【小问1详解】函数的定义域为，当时，，所以，设，则，故为上的增函数，故，当时，，函数在上为单调递减；当时，，函数在上单调递增．【小问2详解】由已知，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，①当时，，此时当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以，无极大值；②当时，，又在单调递增，所以在上有唯一零点，且，设，则当，故在上为减函数.所以，所以，\n所以，又在单调递减，所以在上有唯一零点，且，故当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以函数有两个极小值点．故实数a的取值范围为．【小问3详解】由已知，即，其定义域为，所以，当时，或，因为，所以，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．所以．所以要证，只需证，即证，令，\n则，记，则，∴在单调递减，又，故存在，使得，即，∴，记，在上单调递减，，故只需证，即，∵，∴在上单调递增，成立，故原不等式成立．
