6 整理和复习一、数的认识1.数的分类数2.数的意义(1)整数:像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。整数的个数是无限的,没有最小的整数,也没有最大的整数。(2)自然数:用来表示物体个数的1、2、3、4……叫做自然数。一个物体也没有,用0表示,0也是自然数。自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数。自然数是整数的一部分,正整数和0都是自然数。(3)分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数,表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一,提示:按不同的标准划分,数的分类也会不同。例如:按正、负数分,数分为正数、0、负数;按整数与分数分,数分为整数、分数(小数)等。提示:0表示一个物体也没有;0是正、负数的分界点;0表示起点(如0刻度);计数时,0起占位作用。注意:带分数只有化成假分数后,它的分子才能表示这个带分数的分数单位的个数。
分子是几,它就有几个这样的分数单位。(4)百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数叫做百分数,也叫百分率或百分比。百分数的计数单位是1%。百分数是一种特殊的分数,通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。(5)分数和百分数的关系:分数既可以表示一个数,也可以表示两个数的比;而百分数只表示一个数占另一个数的百分比,不能用来表示具体的数。分数后面可以带单位名称,而百分数后面不能带单位名称。(6)小数:像0.1、0.2、3.14、10.007……这样用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数叫做小数。3.计数单位和数位(1)数位顺序表整数部分小数部分亿级万级个级……………………(2)计数单位:个(一)、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。(3)数位:各计数单位所占的位置叫做数位。(4)数级:按照我国的计数习惯,整数部分从个位向左,每四个数位是一级,依次是个级、万级、亿级……4.数的读写例如:59100写成百分数是59%,59100可以表示59∶100,也可以表示一个数量,如59100米,59100吨等,而59%只表示一个数和另一个数的关系,后面不能带单位名称。补充:9再多1,就要向前一位进一,记作10,像这样的计数方法叫做“十进制计数法”。
读法写法整数从高位读起,亿级和万级的数都按照个级的数的读法来读,读完亿级要在后面加上“亿”字,读完万级要在后面加上“万”字;每一级中间有一个或连续的几个0都只读一个零,每一级末尾的0都不读从高位写起,每一级都按照个位的写法来写;哪一位上一个计数单位也没有就写0分数整数部分按照整数的读法来读,读完后加上个“又”字;分数部分先读分母,加上“分之”,后面再读分子整数部分按照整数的写法来写,“又”字不用写,分数部分先读的是分母,写在下面,后读的是分子,写在上面,中间用分数线隔开百分数先读“百分之”,再读百分号前面的数分子是几就写几,然后在后面写上百分号“%”小数整数部分按照整数的读法来读,小数点读作“点”,小数部分从左向右是几就读几整数部分按照整数的写法来写,“点”写作“.”,小数部分从左向右读几就写几5.大数的改写(1)把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数,在万位或亿位的后面点上小数点,省略小数部分末尾的0,并在后面写上“万”或“亿”字,中间用“=”连接。(2)省略尾数改写成近似数:用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数,并在这个数的后面写“万”或“亿”字,中间用“≈”连接。6.小数的近似数要求把小数保留到哪一位,就把哪一位后面的数用“四舍五入”法省略,中间用“≈”连接。7.假分数与带分数、整数之间的互化(1)假分数化成整数或带分数:用假分数的分子除以分母,如果能够整除,所得的商就是这个假分数化成的整数;如果不能整除,商的整数部分就是带分数的整数部分,余数就是分数部分的分子,原分母不变。(2)整数化成假分数:用指定的分母作分母,用整数乘分母的积作分子。(3)带分数化成假分数:用整数部分乘分母的积加上分数部分的分子作分子,原分母不变。8.分数、小数、百分数之间的互化小数化成分数:先改写成分母是10、100、1000……的分数,再约分;分数化成小数,用分子除以分母;小数化成百分数,把小数的小数点向右移动两位,并在后面加上百分号;注意:读数和写数都从高位起,读数要写成文字形式,写数要写成阿拉伯数字,例如,314037000读作:三亿一千四百零三万七千;一千七百零七万五千四百写作:17075400;6057读作:六十又七分之五;三又十二分之七写作:3712;35%读作百分之三十五;百分之十五点七写作:15.7%;18.003读作:十八点零零三;零点六一八写作:0.618。提示:在读、写、改写数时,原数如果有单位名称,读数、写数、改写的结果也要加上相应的单位名称。易错点:要区分“改写”和“省略”的含义。改写是求准确值,“省略”是用“四舍五入”法求近似数。例如:把123和85改写成整数或带分数。12÷3=4 123=485=135例如:5=5×44=204
百分数化成小数,把百分号去掉,并把小数点向左移动两位;分数化成百分数,先把分数改写成小数,再把小数改写成百分数;百分数化成分数,先把百分数改写成分母是100的分数,再化简。9.判断一个分数能否化成有限小数的方法先看这个分数是不是最简分数,不是最简分数的要化成最简分数;再看最简分数的分母,如果分母中只有质因数2或5,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的其他质因数,就不能化成有限小数。10.数的大小比较(1)整数的大小比较:先看位数,位数多的数大;位数相同,从高位比起,相同数位上的数大的那个数就大。(2)分数的大小比较:先比较整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同比较十分位,十分位上数大的那个数就大;十分位相同,比较百分位,百分位上数大的那个数就大;百分位相同,比较千分位……(3)真分数、假分数和整数部分相同的带分数的大小比较:分母相同,分子大的分数大;分子相同,分母小的分数大;分子分母都不同,通分化成同分母或同分子分数后再比较;假分数大于真分数。整数部分不同的带分数,整数部分大的分数大。11.用直线上的点表示数(数轴)(1)小学阶段学过的数都可以用直线上的点来表示。例如:(2)在这条直线上,0是正数和负数的分界点,箭头方向表示正数的方向,每一大格的长度都相等。12.因数与倍数如果a÷b=c(a、b、c都是整数,且b≠0),就说a是b和c的倍数,b和c是a的因数。如果一个数既是a的因数,又是b的因数,那它就是a和b的公因数。如果一个数既是a的倍数,又是b的倍数,那它就是a和b的公倍数。13.奇数与偶数整数中,能被2整除的数是偶数,不能被2整除的数是奇数。14.质数与合数质数又称素数,指在大于1的自然数中,除了1和它本身外,没有其他因数的数。合数是指自然数中除了1和它本身之外,还有其他因数的数。15.2、3、5的倍数的特征623=6×3+23=203例如:0.52=52100=132538=3÷8=0.3750.32=32%3.5%=0.03534=0.75=75%62.5%=62.5100=58提示:判断分母是否只含有质因数2或5,可以参照“2和5的倍数的特征”进行分析。例如:7856>8566933>6920例如:62.57>52.754.256>4.252例如:47>17 23>2585>34314>123提示:比较小数、分数和百分数的大小时,通常把分数和百分数化成小数进行比较,最后的结果一定要用原数。提示:用数轴上的点可以比较数的大小。数轴上表示数的点的位置越往右,表示的数越大,点的位置越往左,表示的数越小。注意:一个数的因数的个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 注意:一个自然数不是奇数,就是偶数。重点:1既不是质数,也不是合数。最小的质数是2,
(1)2的倍数的特征:个位上的数是0、2、4、6、8。(2)3的倍数的特征:各个数位上的数字的和是3的倍数。(3)5的倍数的特征:个位上的数是0或5。16.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。利用分数的基本性质可以进行分数的通分和化简。17.小数的性质:在小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。利用小数的性质可以进行小数的化简和改写。18.小数点位置移动引起小数的大小变化小数点向右移动一位,小数就扩大到原来的10倍;小数点向右移动两位,小数就扩大到原来的100倍;小数点向右移动三位,小数就扩大到原来的1000倍……小数点向左移动一位,小数就缩小到原来的110;小数点向左移动两位,小数就缩小到原来的1100;小数点向左移动三位,小数就缩小到原来的11000。二、数的运算1.四则运算加法:把两个数合成一个数的运算。减法:已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。乘法:求几个相同加数的和的简便运算。除法:已知两个乘数的积与其中一个乘数,求另一个乘数的运算。2.四则运算中各部分之间的关系加法:加数+加数=和;一个加数=和-另一个加数。减法:被减数-减数=差;被减数=差+减数;减数=被减数-差。乘法:乘数×乘数=积;一个乘数=积÷另一个乘数。除法:被除数÷除数=商;被除数=商×除数;除数=被除数÷商。3.四则混合运算的顺序没有括号的算式,同级运算从左向右算;含两级运算的,先算乘除,后算加减;有括号的算式,先算小括号里面的,它是唯一的偶质数;最小的合数是4。提示:在小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变,计数单位却不同。例如:3.2的计数单位是0.1,3.200的计数单位是0.001。例如:32.1的小数点向右移动一位是321,是原数的10倍;32.1的小数点向左移动一位是3.21,是原数的110。提示:加法和减法互为逆运算;乘法和除法互为逆运算。提示:应用四则运算中各部分之间的关系可以对四则运算进行验算。提示:加减法是同一级运算,称为低级运算;乘除法是同一级运算,称为中级运算。
再算中括号里面的,最后算括号外面的。4.运算定律用字母表示名称加法交换律a+b=b+a加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律a×b=b×a乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c5.运算性质(1)减法的运算性质:a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c)(2)除法的运算性质:a÷b÷c=a÷(b×c) a÷b×c=a÷(b÷c)(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c6.典型的数学问题(1)相遇问题:路程÷(甲速+乙速)=相遇时间(甲速+乙速)×相遇时间=路程(2)追击问题:(假设甲速大于乙速)甲与乙的距离÷(甲速-乙速)=追上时间(甲速-乙速)×追上时间=甲与乙的距离(3)工程问题:工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率工作效率×工作时间=工作总量(4)和差问题:(和+差)÷2=大数 大数-差=小数(和-差)÷2=小数 小数+差=大数 和-小数=大数(5)鸡兔同笼问题:假设全是鸡,(总腿数-总头数×2)÷(4-2)=兔的只数;假设全是兔,(总头数×4-总腿数)÷(4-2)=鸡的只数。三、式与方程1.用字母或含有字母的式子可以简明地表示数,也可以表示数量关系,运算定律和计算公式等。2.等式:表示相等关系的式子叫做等式。3.方程:含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。4.等式的性质:等式的两边同时加上(或减去)同一个数,等式仍然成立;等式的两边同时乘(或除以)同一个数(0除外),等式仍然成立。5.列方程解应用题的一般步骤:①理解题意,提示:在运算中灵活地运用运算定律和减法、除法的运算性质,可以使运算更加简便。提示:路程÷相遇时间-甲速=乙速提示:在“工程问题”中常见“甲、乙合作多长时间能完成工作?”解题的方法是“工作总量÷(甲的工作效率+乙的工作效率)=工作时间”。提示:鸡兔同笼问题也可以用列表法、画图法、列方程等方法解答。提示:所有的方程都是等式,但等式不一定是方程。提示:等式的性质是解方程的依据。
找出题中的等量关系;②把未知量设成未知数,根据等量关系列出方程;③根据等式的性质求出未知数的值;④检验,并写出答语。四、比和比例1.比和比例的区别比比例意义两个数相除又叫做两个数的比表示两个比相等的式子各部分名称基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变在比例里,两个外项的积等于两个内项的积2.比与分数、除法的联系各部分名称例子分数分子分数线分母分数值58除法被除数除号除数商5÷8=58比前项比号后项比值5∶8=58五、图形的认识与测量1.图形的分类图形2.直线、射线、线段把线段的两端无限延伸,就得到一条直线。直线没有端点,可以向两端无限延伸,不能度量长度。把线段的一端无限延伸,就得到一条射线。射线只有一个端点,可以向另一端无限延伸,不能度量长度。直线上两点间的一段叫做线段。线段有两个端点,可以度量长度。3.同一平面内两条直线的位置关系:相交和平行。提示:有时应用题中的问题不能直接用方程解答,需要把一个间接的量设成未知数,求出解后,再进一步解答出应用题的问题。提示:比和比例、比、分数和除法都既有联系,又有区别。把握好比和比例的关系,可以提高我们分析问题和解决问题的能力。提示:灵活运用比和比例及比、分数和除法之间的关系,可以将分数应用题转化为按比分配的应用题或是可以用解比例的方法解答的问题,也可以将按比分配或需要列比例式解答的应用题转化成分数应用题解答。补充:等腰三角形是有两条边相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形,它的三条边都相等。注意:梯形中还有两种比较特殊的情况:等腰梯形和直角梯形。等腰梯形是两个腰相等的梯形;直角梯形是有两个直角的梯形。注意:射线和线段都是直线的一部分。提示:
4.垂直和垂线:如果两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。5.平行线:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线之间的距离处处相等。6.角的分类锐角直角钝角平角周角小于90°90°大于90°小于180°180°360°7.三角形的特征三角形有3个顶点、3条边、3个角。三角形的内角和是180°。在一个三角形中,任意两边的和都大于第三边,任意两边的差都小于第三边。三角形具有稳定性。8.四边形的特征边角长方形两组对边分别平行且相等四个角都是直角正方形两组对边分别平行,四条边都相等四个角都是直角平行四边形两组对边分别平行且相等对角相等梯形只有一组对边平行——9.四边形的分类10.平面图形的周长与面积文字公式字母公式长方形长方形周长=(长+宽)×2长方形面积=长×宽C=2(a+b)S=ab正方形正方形周长=边长C=4a在同一平面内的两条直线不是相交就是平行。垂直是相交的特例。注意:1周角=2平角=4直角平角的两条边在一条直线上,但平角不是直线,它有顶点,它是一个角。提示:运用三角形三边之间的关系,可以判断三条线段或三根小棒能否组成三角形。注意:长方形和正方形是特殊的平行四边形,正方形是特殊的长方形。
×4正方形面积=边长×边长S=a2平行四边形平行四边形面积=底×高S=ah三角形三角形面积=底×高÷2S=12ah梯形梯形面积=(上底+下底)×高÷2S=12(a+b)h圆圆的周长=圆周率×直径圆的周长=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径的平方C=πdC=2πrS=πr211.长方体和正方体的特征相同点不同点面棱长长方体都有6个面、8个顶点、12条棱相对的面的形状、大小都相等相对的4条棱互相平行并且长度相等正方体6个面都是完全相同的正方形12条棱长度相等12.立体图形的表面积与体积表面积计算公式体积计算公式S长方体=2(ab+ah+bh)V长方体=abhV=ShS正方体=6a2V正方体=a3S圆柱=2πr2+2πrhV圆柱=πr2h——V圆锥=13πr2hV圆锥=13Sh13.圆柱与圆锥的关系:(详见《七彩学习手册》第4页)14.常见的计量单位与进率(1)长度单位:1厘米=10毫米 1分米=10厘米 1米=10分米=100厘米1千米=1000米(2)面积单位:1平方厘米=100平方毫米 1平方分米=100平方厘米提示:我们经常会遇到求不规则图形的周长或面积的情况,可以运用转化和迁移的数学思想,把不规则图形转化成我们学过的图形,再计算它们的周长或面积。提示:长方体的所有特征,正方体都具备,所不同的是正方体有6个完全相同的面,12条棱长度都相等,正方体是特殊的长方体。 注意:体积是指物体所占空间的大小,求物体的体积是从物体外部测量长、宽、高等数据的;容积是指一个容器所能容纳的物体的体积,求物体的容积要从物体的内部测量长、宽、高等数据。
1平方米=100平方分米=10000平方厘米1公顷=10000平方米 1平方千米=100公顷=1000000平方米(3)体积单位:1立方厘米=1000立方毫米 1立方分米=1000立方厘米1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米(4)容积单位:毫升(mL) 升(L) 立方米(m3)1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升1立方米=1000升15.单位名数的互化方法(1)低级单位名数化为高级单位名数除以进率;高级单位名数化为低级单位名数乘进率。(2)复名数改写为高级单位的单名数,用复名数的低级单位除以进率,再加上复名数的高级单位。(3)复名数改写为低级单位的单名数,用复名数的高级单位乘进率,再加上复名数的低级单位。(4)低级单位单名数改写为复名数,用单名数除以进率的商的整数部分做复名数的高级单位,余数做复名数的低级单位。(5)高级单位单名数改写为复名数,整数部分做复名数的高级单位,小数部分乘进率做复名数的低级单位。六、图形的运动1.平移:物体或图形在同一平面内沿直线运动,物体或图形的形状、大小、方向都不发生改变,只是位置发生变化。2.旋转:物体或图形绕着一个点或一个轴所发生的运动,叫做旋转。旋转不改变物体的形状和大小,只改变物体的方向。3.轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就叫做轴对称图形,折痕所在的直线叫做对称轴。4.图形的放大和缩小:把一个图形的各边按一定比例进行放大或缩小,从而得到该图形的放大图或缩小图。七、图形与位置1.提示:在比较单位名数的大小时,只有相同的单位才能在一起比较;单位不同时,要化成相同的单位再进行比较。 提示:平移只改变物体的位置,旋转只改变物体的方向。
平面图上通常都是按“上北、下南、左西、右东”来确定方位的,还有东南、东北、西南、西北四个方向。2.确定物体方向的两个要素:方向和距离。3.用数对表示物体的位置,数对的第一个数表示在第几列,第二个数表示在第几行,两个数之间要用逗号隔开,并用括号把这个数对括起来。八、统计与概率1.统计表的种类(1)单式统计表:只有一组统计项目的统计表。(2)复式统计表:有两组或两组以上统计项目的统计表。2.统计图的种类与特点统计图种类表现形式特点条形统计图用条形的长短表示数量的多少直观表示数量的多少和不同数据的差异折线统计图用折线上的点表示数量的增减变化不仅能清楚地表示数量的多少,还能直观地反映数量的增减变化趋势扇形统计图用整个圆和圆内的扇形表示各部分数量占总数的百分比直观表示各部分数量与总数量之间的关系3.平均数:平均数是表示一组数据平均趋势的数,它反映一组数据的平均水平,但它容易受极端数据的影响。4.可能性:生活中,有些事件的发生是不确定的,一般用“可能发生”来描述;有些事件的发生是确定的,一般用“一定”或“不可能”来描述。九、数学思考1.如果有n个点,每两个点连一条线段,一共能连出1+2+3+……+(n-1)条线段。2.如果a=b,b=c,那么a=c,这就是等量代换。十、综合与实践提示:一个图形的放大图或缩小图与原图形相比较,形状相同,大小不同。提示:对照数对在方格纸上找物体的位置时,先根据数对的第一个数找到所在的列,再根据数对的第二个数找到这一列的第几行,行和列的交点就是这个数对所对应的物体的位置。提示:每种统计图的表现形式不同,特点也不同,应用时要根据数据的特点和需要选择合适的统计图。提示:求平均数的方法:一组数据的总和÷这组数据的个数=这组数据的平均数。
1.绿色出行:绿色出行是指采取相对环保的出行方式,即节约能源、提高能效、减少污染、有益健康、兼顾效率的出行方式,如乘坐公共汽车、地铁等公共交通工具,骑自行车等。通过碳减排实现资源的可持续利用,促进环境保护,减少环境污染。2.制定旅游计划的内容确定景点,选好路线;具体、合理地做好时间安排;安排住宿、交通工具;做好旅游费用预算,旅游费用包括交通费、食宿费、景点门票费、购物费用等。3.国家邮政局关于信函邮资的收取标准业务种类计费单位资费标准/元本埠资费外埠资费信函首重100g内,每重20g(不足20g按20g计算)0.801.20续重101~2000g每重100g(不足100g按100g计算)1.202.004.邮资的计算方法本埠外埠不足20g0.801.201-100g信函质量除以20的商(进一法取整数)×0.8信函质量除以20的商(进一法取整数)×1.20100g以上100÷20×0.8+(信函质量-100)除以20的商(进一法取整数)×1.20100÷20×0.8+(信函质量-100)除以20的商(进一法取整数)×2.005.在“有趣的平衡”中,要使竹竿保持平衡,必须使“左边的刻度数×棋子数=右边的刻度数×棋子数”。6.当一边的刻度数和棋子数保持不变时,另一边的刻度数和棋子数成反比例关系。提示:判断每种事件的可能性是否相等,可以确定方案规则是否公平。提示:对城市的发展来说,绿色出行可以缓解交通拥堵,降低空气污染,减少交通事故;对市民来说,它可以减少对汽车的使用和依赖,改善居住环境,促进身体健康。提示:旅游前应制定切实可行的计划,对各方面做周密的安排,旅游过程中要按照旅游计划游览,也可随时加以调整。提示:邮票是邮件的发送者为邮政服务付费的一种证明。邮票分为普通邮票、纪念邮票等。提示:本埠是指本市区,外埠是指外市区。提示:竹竿的平衡规律反映的是物理中的“杠杆原理”。生活中的跷跷板、起钉锤等都应用了“杠杆原理”。
